پاسخ تشریحی سوالات ریاضی کنکور خارج کشور 92

برای دانلود پاسخ تشریحی سوالات ریاضی کنکور خارج کشور 92

لطفا اینجا را کلیک نمایید.

+ نوشته شده در شنبه بیست و ششم بهمن ۱۳۹۲ ساعت 16:7 توسط مجید صدیقیان |

کتاب فرمول دیفرانسیل و ریاضی پایه چاپ انتشارات شبقره به بازار آمد.

برای تهیه این کتاب با شماره تلفن 88984462 تماس بگیرید.

+ نوشته شده در جمعه ششم بهمن ۱۳۹۱ ساعت 22:19 توسط مجید صدیقیان |

درگذشت پرویز شهریاری

یکی از اساتید مسلم ریاضی درگذشت.

استاد پرويز شهرياري، چهره ماندگار ریاضی كشور بر اثر سکته قلبی چشم از جهان فروبست.

استاد شهرياري از چهره‌های ماندگار در عرصه علم و آموزش كشور، دوم آذرماه 1305 در محله «دولت خانه» كرمان به دنيا آمد.

وي پس از اتمام دوران ابتدايي خود در دبستان كاوياني به دبيرستان ايرانشهر و سپس دانشسراي مقدماتي كرمان رفت و از آنجا كه شاگرد اول و دوم‌ها مي‌توانستند براي ادامه تحصيل به تهران بروند، در دانشكده‌ ادبيات تهران به تحصيل مشغول شد؛ اما به دليل شلوغي (350 نفره) كلاس‌هاي ادبي و از آنجا كه در مجموع شش نفر از آنها فارغ‌التحصيل مي‌شدند به رشته رياضي كه كمتر از 10 دانشجو داشت، تغيير رشته داد.

وي، پس از پايان كلاس مقدماتي (معادل سال آخر دبيرستان) درصدد ورود به دانشگاه بر آمد.

شهرياري جوان مايل بود كه تحصيلات خود را در دانشكده‌ فني دانشگاه تهران ادامه دهد، ولي پس از مدتي دريافت كه فارغ‌التحصيلاني نظير وي جز از طريق ورود به دانشكده‌ علوم يا ادبيات حق تحصيل در دانشگاه را ندارند. بنابراين از سال 1324 در رشته‌ رياضي دانشكده علوم ثبت‌نام كرد و همزمان به تدريس در دبستان كاخ واقع در ميدان رشديه و كلاس‌هاي شبانه اقدام كرد.

نخستين كتاب شهرياري در سال 1327 به چاپ رسيد و در فروردين سال بعد براي نخستين بار به اتهام فعاليت‌هاي سياسي و ضدسلطنتي براي مدت سه ماه روانه‌ بازداشتگاه شد و از شركت در امتحان نهايي باز ماند.

پرويز شهرياري در دوران زندان، زبان روسي را كه يكي از مهمترين زبان‌هاي علمي روزگار بود، به طور كامل فراگرفت كه بركات اين امر در طول بيش از نيم قرن تلاش‌هاي علمي وي در ترجمه‌ ده‌ها كتاب علمي از زبان روسي نمود يافته است.

شهرياري جوان در سال 1329 - يعني زماني كه هنوز در زندان بود - يك مجموعه كتاب درسي رياضي دوره اول دبيرستان را تاليف كرد و نخستين اثر ترجمه‌ خود را كه يادگار دوران زندان بود در سال 1331 با عنوان «تاريخ حساب رنه تاتون» منتشر كرد.

وي از همان سال، تحصيلات خود در دانشكده‌ علوم را ادامه داد و در كنار آن تا 28 مرداد سال 1333 سردبيري هفته‌نامه «وهومن» را برعهده گرفت.

شهرياري، سرانجام در خرداد ماه سال 1332 ليسانس رياضي دانشكده‌ علوم و ليسانس دانش‌سراي عالي را دريافت كرد و با حكم آموزش و پرورش تا خرداد ماه 1333 به تدريس در دبيرستان‌هاي شيراز پرداخت.

به گزارش ايسنا، استاد در تابستان سال 1334 ازدواج كرد كه ثمره‌ اين ازدواج پنج فرزند بود كه تمامي آنها جز فرزند دومشان كه در هشت سالگي در اثر تصادف فوت كرد، به مدارج عالي علمي و تحصيلي دست يافته‌اند.

استاد تا آذرماه 1335 زندگي مخفيانه داشت و در آن مدت با نام مستعار در يك دبيرستان و آموزشگاه شبانه تدريس مي‌كرد تا اين كه دستگير شد و مدت 40 روز همراه با زن و فرزندش در خانه‌اي در تهران تحت بازداشت قرار گرفت و پس از آن به زندان پادگان قصر و سپس به قزل قلعه منتقل شد.

استاد شهرياري در فروردين ماه 1337 با قيد كفايت آزاد شد و از مهرماه سال 1338 به صورت حق‌التدريسي در دبيرستان‌هاي مختلف تهران به آموزش دانش‌آموزان همت گمارد.

راه‌اندازي نخستين كلاس كنكور در ايران، گروه فرهنگي خوارزمي، تاسيس دبيرستان پسرانه و انتشارات خوارزمي، تاسيس دبيرستان دخترانه مرجان، تدريس در دانشكده‌ فني دانشگاه تهران و دانش‌سراي عالي از جمله اقدامات استاد تا سال 1342 بود.

وي از سال 1342 تا 1349 در كنار فعاليت‌هاي وسيع آموزشي خود 90 شماره از مجله‌ «سخن علمي و فني» را منتشر كرد.

استاد شهرياري، هم‌چنين از سال 1346 تا 1354 سرپرست دفتر ترويج علوم وزارت آموزش عالي بود و در آن مدت، نشريه‌اي به نام مسائل دانشگاهي براي استفاده‌ استادان دانشگاه‌ها منتشر مي‌كرد. وي در فاصله‌ سال‌هاي 1350 تا آذرماه 1354 گروه فرهنگي مرجان، انتشارات توكا و مدرسه‌ عالي علوم اراك را پايه‌گذاري كرد.

شهرياري، خود تا سال 1356 در اين مدرسه‌ عالي كه با كمك دكتر عبدالكريم قريب و دكتر حسين گل‌گلاب راه‌اندازي كرده بود، تدريس كرد. استاد هم‌چنين از سال 1354 تا 1362 مسووليت نشريه‌هاي جانبي دانشگاه آزاد و از سال 1356 تا اسفند 1371، انتشار 70 شماره از مجله «آشتي با رياضيات» و «آشنايي با رياضيات» و هفت شماره از نشريه‌ «آشنايي با دانش» را برعهده داشت.

سردبيري نشريه‌ «چيستا» از جمله‌ي ديگر فعاليت‌هاي علمي و فرهنگي استاد است كه از شهريور ماه 1360 تاكنون تداوم داشته است. علاوه بر اين وي از سال 1379 تا مهر ماه 1380، 17 شماره از ماهنامه‌ «دانش و مردم» را منتشر كرد.

در بيست و ششمين كنفرانس رياضي كشور كه فروردين ماه 1374 در كرمان برگزار شد، به پاس يك عمر تلاش علمي و آموزشي استاد پرويز شهرياري از او به عنوان پيشكسوت رياضي تجليل شد. در سال‌هاي 1376 و 1378 نيز در نخستين كنفرانس آموزشي رياضي در اصفهان و سومين گردهمايي شكوفه‌هاي رياضي در دانشكده علوم رياضي دانشگاه شهيد بهشتي از وي تقدير شد.

در سال 1379 به مناسبت سال جهاني رياضيات (سال 2000) در مراكز مختلف به عنوان پيشكسوت از استاد شهرياري تجليل شد و در ارديبهشت ماه 81 در مراسمي ويژه با حضور وزير وقت علوم، تحقيقات و فن‌آوري، دكتري افتخاري رياضي آن دانشگاه به استاد اعطا شد.

استاد پرويز شهرياري همچنين در آبان ماه 1384 در پنجمين همايش «چهره‌هاي ماندگار» به عنوان چهره ماندگار آموزش رياضيات ايران تقدير شد.

از اين استاد بزرگ بالغ بر 60 عنوان كتاب درسي رياضيات - از جمله دروه‌ كتاب‌هاي درسي رياضي سه سال اول دبيرستان نظام قديم، دروه‌ي كامل رياضيات دبيرستاني و كتاب‌هاي مسائل مربوط به آن و جبر سال سوم رشته‌ي رياضي فيزيك و سه جلد كتاب آناليز رياضي - بيش از 97 كتاب كمك درسي - به صورت ترجه و تاليف - حدود 20 كتاب در زمينه‌هاي مختلف تاريخ، فلسفه، كاربرد و آموزش رياضايات و 9 جلد كتاب سرگرمي در رياضيات به دانش‌آموزان و دانش‌پژوهان رياضي كشور ارائه شده است.

استاد شهرياري علاوه بر اين آثار، حدود 14 عنوان كتاب ديگر در زمينه‌هاي مختلف تاليف يا ترجمه كرده‌ كه در اين ارتباط مي‌توان به كتاب‌هاي دانشمندان و هنرمندان، خانه‌ اهريمن، دانش و شبه دانش، دو درس كوتاه درباره‌ ديرين‌شناسي، قطاري كه در بعد چهارم گم شد و نظريه‌ نسبيت در مساله‌ها و تمرين‌ها اشاره كرد.

اين رياضي‌دان پر تلاش هم‌چنين از سال 1325 تاكنون حدود يك هزار مقاله در نشريات مختلف به ويژه نشريه‌هاي علمي و رياضي به چاپ رسانده است.

+ نوشته شده در چهارشنبه هفدهم خرداد ۱۳۹۱ ساعت 21:11 توسط مجید صدیقیان |

علم بهتر است یا ثروت؟

جمعیت زیادی دور حضرت علی حلقه زده بودند. مردی وارد مسجد شد و درفرصتی مناسب پرسید:

ـ یا علی! سؤالی دارم. علم بهتر است یا ثروت؟

علی در پاسخ گفت:

علم بهتر است؛ زیرا علم میراث انبیاست و مال وثروت میراث قارون و فرعون و هامان وشداد.

مرد که پاسخ سؤال خود را گرفته بود، سکوت کرد.

در همین هنگام مرد دیگری وارد مسجد شد و همان‌طور که ایستاده بود بلافاصله پرسید:

ـ اباالحسن! سؤالی دارم، می‌توانم بپرسم؟ امام در پاسخ آن مرد گفت:بپرس! مرد که آخر جمعیت ایستاده بود پرسید:-علم بهتر است یا ثروت؟

علی فرمود:

علم بهتر است؛ زیرا علم تو را حفظ می‌کند، ولی مال و ثروت را تو مجبوری حفظ کنی.

نفر دوم که از پاسخ سؤالش قانع شده بود، همان‌‌جا که ایستاده بود نشست.

در همین حال سومین نفر وارد شد، او نیز همان سؤال را تکرار کرد،و امام در پاسخش فرمود:

علم بهتر است؛ زیرا برای شخص عالم دوستان بسیاری است،ولی برای ثروتمند دشمنان بسیار!

هنوز سخن امام به پایان نرسیده بود که چهارمین نفر وارد مسجد شد. او در حالی که کنار دوستانش می‌نشست، عصای خود را جلو گذاشت و پرسید:

ـ یا علی! علم بهتر است یا ثروت؟

حضرت‌علی در پاسخ به آن مرد فرمودند:

علم بهتر است؛ زیرا اگر از مال انفاق کنی کم می‌شود؛ ولی اگر از علم انفاق کنی و آن را به دیگران بیاموزی برآن افزوده می‌شود.

نوبت پنجمین نفر بود. او که مدتی قبل وارد مسجد شده بود و کنار ستون مسجد منتظر ایستاده بود، با تمام شدن سخن امام همان سؤال را تکرار کرد.

حضرت‌ علی در پاسخ به او فرمودند

علم بهتر است؛ زیرا مردم شخص پولدار و ثروتمند را بخیل می‌دانند، ولی از عالم و دانشمند به بزرگی و عظمت یاد می‌کنند.

با ورود ششمین نفر سرها به عقب برگشت، مردم با تعجب او را نگاه کردند. یکی از میان جمعیت گفت: حتماً این هم می‌خواهد بداند که علم بهتر است یا ثروت! کسانی که صدایش را شنیده بودند، پوزخندی زدند. مرد، آخر جمعیت کنار دوستانش نشست و با صدای بلندی شروع به سخن کرد:

ـ یا علی! علم بهتر است یا ثروت؟

امام نگاهی به جمعیت کرد و گفت:

علم بهتر است؛ زیرا ممکن است مال را دزد ببرد، اما ترس و وحشتی از دستبرد به علم وجود ندارد.

مرد ساکت شد. همهمه‌ای در میان مردم افتاد؛ چه خبر است امروز! چرا همه یک سؤال را می‌پرسند؟ نگاه متعجب مردم گاهی به حضرت‌ علی و گاهی به تازه‌واردها دوخته می‌شد.

در همین هنگام هفتمین نفر که کمی پیش از تمام شدن سخنان حضرت ‌علی وارد مسجد شده بود و در میان جمعیت نشسته بود، پرسید:

ـ یا اباالحسن! علم بهتر است یا ثروت؟

امام دستش را به علامت سکوت بالا برد و فرمودند

علم بهتر است؛ زیرا مال به مرور زمان کهنه می‌شود، اما علم هرچه زمان بر آن بگذرد، پوسیده نخواهد شد.

مرد آرام از جا برخاست و کنار دوستانش نشست؛ آنگاه آهسته رو به دوستانش کرد و گفت: بیهوده نبود که پیامبر فرمود: من شهر علم هستم و علی هم درِ آن! هرچه از او بپرسیم، جوابی در آستین دارد، بهتر است تا بیش از این مضحکه مردم نشده‌ایم، به دیگران بگوییم، نیایند! مردی که کنار دستش نشسته بود، گفت: از کجا معلوم! شاید این چندتای باقیمانده را نتواند پاسخ دهد، آن‌وقت در میان مردم رسوا می‌شود و ما به مقصود خود می‌رسیم! مردی که آن طرف‌تر نشسته بود، گفت: اگر پاسخ دهد چه؟ حتماً آن‌وقت این ما هستیم که رسوای مردم شده‌ایم! مرد با همان آرامش قلبی گفت: دوستان چه شده است، به این زودی جا زدید! مگر قرارمان یادتان رفته؟ ما باید خلاف گفته‌های پیامبر را به مردم ثابت کنیم.

در همین هنگام هشتمین نفر وارد شد و سؤال دوستانش را پرسید،

که امام در پاسخش فرمود

علم بهتر است؛ برای اینکه مال و ثروت فقط هنگام مرگ با صاحبش می‌ماند، ولی علم، هم در این دنیا و هم پس از مرگ همراه انسان است.

سکوت، مجلس را فراگرفته بود، کسی چیزی نمی‌گفت. همه از پاسخ‌‌های امام شگفت‌زده شده بودند که…

نهمین نفر وارد مسجد شد و در میان بهت و حیرت مردم پرسید:

ـ یا علی! علم بهتر است یا ثروت؟

امام در حالی که تبسمی بر لب داشت، فرمود:

علم بهتر است؛ زیرا مال و ثروت انسان را سنگدل می‌کند، اما علم موجب نورانی شدن قلب انسان می‌شود.

نگاه‌های متعجب و سرگردان مردم به در دوخته شده بود، انگار که انتظار دهمین نفر را می‌کشیدند. در همین حال مردی که دست کودکی در دستش بود، وارد مسجد شد.

او در آخر مجلس نشست و مشتی خرما در دامن کودک ریخت و به روبه‌رو چشم دوخت. مردم که فکر نمی‌کردند دیگر کسی چیزی بپرسد، سرهایشان را برگرداندند، که در این هنگام مرد پرسید:

ـ یا اباالحسن! علم بهتر است یا ثروت؟

نگاه‌های متعجب مردم به عقب برگشت. با شنیدن صدای علی مردم به خود آمدند:

علم بهتر است؛ زیرا ثروتمندان تکبر دارند، تا آنجا که گاه ادعای خدایی می‌کنند، اما صاحبان علم همواره فروتن و متواضعند

فریاد هیاهو و شادی و تحسین مردم مجلس را پر کرده بود. سؤال کنندگان، آرام و بی‌صدا از میان جمعیت برخاستند. هنگامی‌که آنان مسجد را ترک می‌کردند، صدای امام را شنیدند که می‌گفت:

اگر تمام مردم دنیا همین یک سؤال را از من می‌پرسیدند، به هر کدام پاسخ متفاوتی می‌دادم.

+ نوشته شده در یکشنبه سی و یکم اردیبهشت ۱۳۹۱ ساعت 23:48 توسط مجید صدیقیان |

خاصیتی جالب

1. عددی سه رقمی انتخاب کنید.

2. همین عدد را جلوی خودش بنویسید تا عددی 6 رقمی حاصل شود.

3. این عدد را به 13 تقسیم کنید، قطعاً اعشاری نمی شود.

4. خارج قسمت بدست آمده را بر 11 تقسیم کنید. باز هم عددی صحیح حاصل میشود.

5. حال آخرین خارج قسمت را بر 7 تقسیم کنید تا به عدد اولی که انتخاب کردید برسید.

این کار را برای هر عددی سه رقمی امتحان کنید، چرا چنین نتیجه ای حاصل میشود؟

+ نوشته شده در جمعه سی ام دی ۱۳۹۰ ساعت 17:53 توسط مجید صدیقیان |

کتاب آمار

کتاب آمار از سری انتشارات کتاب های جیبی شبقره به بازار آمد.

این کتاب برای داوطلبین کنکور برای سه گروه ( ریاضی، تجربی و انسانی) مفید می باشد.

+ نوشته شده در چهارشنبه بیست و هشتم دی ۱۳۹۰ ساعت 16:24 توسط مجید صدیقیان |

کتاب جدید

ریاضیات گسسته و جبرواحتمال چاپ دی 90 وارد بازار شد.

(انتشارات شبقره قیمت 10000 تومان)

مولفان (خطیبی ، صدیقیان ، محسنی ،...)

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و دوم دی ۱۳۹۰ ساعت 16:33 توسط مجید صدیقیان |

سوالات با جایزه

به دوستانی که دو معمای زیر را حل کنند جایزه داده میشود.

+ نوشته شده در دوشنبه نوزدهم دی ۱۳۹۰ ساعت 23:42 توسط مجید صدیقیان |

سن مادر بزرگ

سن مادر بزرگی بین 50 تا 70 سال است. مادر بزرگ می‌گوید:

همه پسرهای من به تعداد برادرشان پسر دارند. در مجموع سن پسرها و نوه‌های من برابر سن من است. حال بگویید مادر بزرگ چند سال دارد؟

+ نوشته شده در دوشنبه نوزدهم دی ۱۳۹۰ ساعت 23:41 توسط مجید صدیقیان |

معمای خانواده

پنج برادر به ترتیب با دوسال فاصله متولد شده‌اند. اگر مجموع سن آنها 35 سال باشد، سن فرزند بزرگتر چقدر است؟

+ نوشته شده در دوشنبه نوزدهم دی ۱۳۹۰ ساعت 23:38 توسط مجید صدیقیان |

خورد کردن اعداد طبیعی به مجموع اعداد طبیعی متوالی



نوشتن یک عدد طبیعی به صورت مجموع چند عدد طبیعی متوالی
نکته 1 : نمایش اعداد به صورت مجموع ِ اعدادِ متوالی ، یکتا نیست ؛ مثلا" 30 را به صورت زیر نیز می توان نمایش داد: 9+8+7+6=30 11+10+9=30 نکته 2 : یک بازرسی در اعداد بالا نشان می دهد : اعدادی را که به صورت توانی از 2 هستند، نمی توانیم به صورت مجموع اعداد متوالی بنویسیم .

+ نوشته شده در یکشنبه هجدهم دی ۱۳۹۰ ساعت 12:16 توسط مجید صدیقیان |

تابع قلب

برای رسم قلب توابع زیادی داریم که چند نمونه آن چنین است:

+ نوشته شده در شنبه دهم دی ۱۳۹۰ ساعت 23:29 توسط مجید صدیقیان |

سری هارمونیک

سری نامتناهی

را سری هارمونیک یا همساز می گویند. علت نامگذاری این سری به این عنوان به این دلیل است که طول موجهای حاصل از ارتعاش های یک تار مرتعش با نسبت های

متناسب است. این سری اگرچه به کندی افزایش می یابد اما از دسته سریهای واگرا است و حاصل آن بینهایت است.

اثبات واگرایی سری هارمونیک:

برای اثبات همگرایی این سری می توان جملات آن را به این صورت نوشت:

مجموع جملات در هر گروه بزرگتر از

است و چون تعداد گروهها که مجموع جملاتشان بزرگتر از

است نامتناهی است مجموعه جزیی سری از هر عدد دلخواه بزرگتر می شود. پس این سری همگرا نمی باشد.

این اثبات به نیکُل اورسم(Nicole d'Oresme) منسوب است. وی اولین فردی بود که در مورد واگرایی سری هارمونیک اثباتی را ارائه داد، اما این اثبات برای قرنها گم نام باقی ماند. بعد از او به ترتیب پیترو منگُلی(Pietro Mengoli) در سال 1647، یوهان برنولی(Johann Bernoulli) در سال 1687و بعدها یاکوب برنولی(Jakob Bernoulli)، اثباتهایی برای واگرایی این سری ارائه کردند. البته با استفاده از آزمونهای همگرایی سریها از جمله آزمون انتگرال هم می توان واگرایی این سری را نشان داد.

همچنین در شکل نمودار تعییرات مقدار سری بر حسب تعداد جملات را مشاهده می کنید. مشاهدی می شود این سری هر چند کند، در نهایت به سمت بینهایت میل می کند.

لازم به توضیح است سری تعمیم یافته سری هارمونیک است که به آن تابع زتای ریمان(Riemann zeta Function) می گویند.

سری هارمونیک متناوب

سری

را سری هارمونیک متناوب می گویند که حاصل آن با استفاده از سری تیلر لگاریتم طبیعی بدست می آید و برابر است با

. همچنین این سری را نیز می توان حالت خاص

از تابع اتای دیریکله(dirichlet eta function )

دانست.

برهان: می دانیم با استفاده از بسط تیلر لگاریتم طبیعی داریم:

حال اگر قرار دهیم x=1 خواهیم داشت:

پس تساوی فوق برقرار است.

در شکل زیر نمودار تغییرات مقدار سری هارمونیک متناوب را بر حسب تغییرات تعداد جملات مشاهده می کنید:

img/daneshnameh_up/3/3a/NaturalLoalter.gif

عدد هارمونیک

عدد هارمونیک عددی است که از جمع جملات سری هارمونیک بوجود می آید. n امین عدد هارمونیک را با نماد

نشان می دهند و به این صورت تعریف می کنند:

سرعت رشد عدد هارمونیک با سرعت رشد لگاریتم طبیعی عدد n تقریبا برابر است. به عبارت دیگر حد نسبت این دو وقتی n به سمت بینهایت میل می کند برابر با یک است. پس مقدار در هر مرحله تقریبی از است که با افزایش هر چه بیشتر n این اختلاف این دو کمتر می شود و اعداد هارمونیک با افزایش n به مقدار لگاریتم طبیعی عدد n نزدیک می شوند.

برهان: با توجه به تعریف n امین عدد هارمونیک داریم:

حال وقتی n زیاد و زیادتر می شود و به بینهایت میل می کند داریم:

از طرفی با استفاده از تعریف مجموع ریمان و انتگرال معین داریم:

پس خواهیم داشت:

که با توجه به حاصل انتگرال فوق داریم:

پس وقتی n به بینهایت میل می کند مقدار عدد هارمونیک

به

نزدیک می شود(ولی با آن برابر نمی شود) و با آن همرفتار است.
در شکل زیر نمودار تغییرات عدد هارمونیک را با افزایش n مشاهدی می کنید:

img/daneshnameh_up/a/aa/HarmonicNumber_1000.gif

سری هارمونیک عمومی

سری

را سری هارمونیک عمومی(کلی) می گوییم. علت این است که در یک حالت خاص a=1,b=0 این سری به سری هارمونیک تبدیل می شود و لذا یک حالت کلی از سری هارمونیک است. تمامی سری ها به این شکل همانند سری هارمونیک واگرا هستند.
برهان: برای بررسی وضعیت همگرایی این سری از آزمون مقایسه حد استفاده می کنیم.
به این منظور از سری هارمونیک کمک می گیریم. میدانیم این سری واگرا است پس:

پس سری

از نظر همگرایی با سری هارمونیک یکسان است پس این سری واگرا است.

بررسی سری هارمونیک

اگر در سری هارمونیک، کسرهایی را که مخرجشان غیر اول است برداریم سری

حاصل می شود که همانند سری هارمونیک واگرا است.
واگرایی سری فوق نخستین بار توسط اویلر

(Euler) به اثبات رسید.

اثبات واگرایی سری فوق:

در رابطه با اثبات واگرایی سری هارمونیک تشکیل شده از اعداد اول روش های مختلفی وجود دارد، که در اینجا تنها به روشی که خود اویلر برای اثبات به کار برد اشاره می کنیم.(سایر راهها در صفحه ای جداگانه آورده شده است)
او ابتدا سری هارمونیک را در نظر گرفت:

همچنین او میان تابع زتای ریمان

و اعداد اول p رابطه زیر را پیدا کرده بود که به نام فرمول ضرب اویلر شناخته می شود:

که مقصود از

ضرب روی تمام اعداد اول است. از سوی دیگر:

پس او با توجه به مطالب فوق نتیجه گیری نمود:

او همچنین نتیجه گرفت که تعداد اعداد اول برای برقراری این تساوی باید نامتناهی باشد چرا که در صورت متناهی بودن اعداد اول p در سمت راست تساوی، حاصل ضرب در سمت راست همگرا به عددی خواهد بود و در نتیجه نشان دهنده همگرا بودن سری هارمونیک است که این یک تناقض ایجاد می کند. پس تعداد اعداد اول برای برقراری تساوی فوق نامتناهی است.
اویلر از این رابطه استفاده کرد تا به دنباله ای بیکران دست بافت.
او ابتدا از دو طرف لگاریتم گرفت(لگاریتم طبیعی) و سپس از بسط تیلر

استفاده نمود:

برای یک مقدار ثابت C و کمتر از یک چون همان طور که قبلا اشاره شد سری هارمونیک با (ln(n همرفتار است(به عبارت دیگر وقتی n به بینهایت میل می کند نسبت آنها به یک میل می کند) , با توجه به نامساوی اویلر در نهایت نتیجه گرفت:

پس می توان نتیجه گرفت این سری واگرا است.
به این ترتیب اویلر نشان داد سری نامتناهی دنباله معکوس اعداد اول همانند سری هارمونیک با افزایش n، همرفتار با (ln(n است یا به عبارتی وقتی n به بینهایت میل می کند مقدار سری

برابر با (ln(n است.

مطالبی شگفت انگیز از سری هارمونیک

با بررسی سری هارمونیک کتوجه می شویم این سری ویژگی های جالب و شگفت آوری دارد که در اینجه به برخی از آنها اشاره می کنیم:
مجموع جزیی این سری را برای چند مقدار n بدست آورید:

به این ترتیب مجموع بیست جمله اول سری هارمونیک تنها حدود

است!
حال به نظر شما اگر بخواهیم مجموع این سری به عدد بیست برسد چند جمله این سری را باید با هم جمع کنیم؟
شاید باورتان نشود که اگر

جمله اول این سری را با هم جمع کنیم یا به عبارتی

را محاسبه کنیم حاصل حتی به عدد چهارده هم نمی رسد! در یک سایت برنامه ای ارائه شده است که بوسیله آن می توان مجموع جزیی سری هارمونیک را به ازائ هر n محاسبه کرد. با مراجعه به این سایت و محاسبه مقدار

داریم:

محاسبات نشان میدهد مجموع جزیی این سری حتی بعد از

جمله همچنان کمتر از بیست است!!!
حال خوتان را برای مطلبی شگفت آورتر اماده کنید. فکر می کنید چند جمله این سری را باید محاسبه کنیم تا حاصل مجموع جزیی سری از عدد 100 بیشتر شود؟
جالب است بدانید برای تحقق این امر باید

یا بیش از پانزده میلیون تریلیون تریلیون تریلیون جمله این سری را با هم جمع کرد!!!
مقداد دقیق جملات مورد نیاز به این صورت است:

برای بررسی این مطلب به محاسبات زیر توجه کنید:

بنابراین:

مطلب جالب دیگر این است که با اندکی تغییر می توان این سری را به یک سری همگرا تبدیل کرد.
به عنوان مثال سری

را در نظر بگیرید. جملات این سری خیلی یه جملات سری هارمونیک نزدیک هستند و اختلاف آنها بسیار ناچیز است. به عنوان مثال اختلاف جمله هزارم سری هارمونیک و سری

برابر با

است و این اختلاف در جملات بعدی کمتر می شود. بنابراین در یک نگاه سریع و عجولانه می توان گفت سری

همانند سری هارمونیک واگرا است در حالی که می دانیم سری

یک p-سری است با توان p>1 پس همگرا است!

مثال جالب دیگر این است که اگر از بین جملات سری هارمونیک جملاتی را که در مخرج آنها رقم یک وجود دارد حذف کنیم سری جدیدی به این صورت حاصل می شود:

حالا حدس شما چیست؟ فکر می کنید این سری همگرا است یا واگرا؟
جالب است بدانید در سال 1914، یکی از دانشجویان دانشگاه ایلینویز آمریکا ثابت کرد که این سری همگرا است و مقدار همگرایی آن کمتر از 90 است.
همچنین قبلا نشان دادیم اگر در سری هارمونیک جملاتی که مخرجشان غیر اول است حذف کنیم سری زیر حاصل می شود که واگرا است:

دو مطلب اخیر به خوبی این نکته را نشان می دهد که حذف تعداد نامتناهی جمله از میان جملات یک سری می تواند در همگرایی و واگرایی سری تاثیر بگذارد.

+ نوشته شده در سه شنبه هشتم آذر ۱۳۹۰ ساعت 22:52 توسط مجید صدیقیان |

عدد نپر

عدد e مهمترین عدد در ریاضیات است كه به نام عدد اویلر یا عدد نپر Napier نیز نامیده می شود و تقریباً برابر است با: 2.7182818284590452353602874713527 كه البته بیش از 100 میلیارد رقم بعد از اعشار آن نیز حساب شده است.

1- این عدد به چند طریق بدست می آید و یكی از فرمولهای محاسبه اش e = (1 + 1/n)ⁿ

^{است هنگامی كه n به سمت بینهایت میل كند}

n				(1+1/n)ⁿ
1				2.00000
2				2.25000
5				2.48832
10				2.59374
100				2.70481
1,000				2.71692
10,000				2.71815
100,000				2.71827

برخی دانشجویان تا 9 رقم بعد از اعشارش را بخاطر

می سپارند چون آسان است:

1828 2/71828

و برخی افراد شش رقم بعد را هم با این رابطه حفظ می كنند كه یك مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه زوایایش بترتیب 45 و 90 و 45 درجه است

45 90 182845 2/71828

2-فرمول دوم برای محاسبه عدد نپر و توانهای آن بشرح زیر است:

$e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots$

+ نوشته شده در پنجشنبه بیست و ششم آبان ۱۳۹۰ ساعت 18:1 توسط مجید صدیقیان |

نگارش کتاب احتمال

کتاب تصاعد حسابی و هندسی را با نویسندگی اساتید محسنی و شعبانی به پایان رساندیم که اکنون در زیر چاپ است و تا آخر آبان 90 به بازار می آید.

الان در حال نگارش کتاب احتمال هستم. اگر دوستی سوالات و مطالب جالبی داره برام به آدرس زیر میل کنه.

bitambnm@yahoo.com

+ نوشته شده در یکشنبه پانزدهم آبان ۱۳۹۰ ساعت 9:37 توسط مجید صدیقیان |

مطالب قدیمی‌تر

جزوات و نمونه سوالات تستی

جمعیت زیادی دور حضرت علی حلقه زده بودند. مردی وارد مسجد شد و درفرصتی مناسب پرسید:

ـ یا علی! سؤالی دارم. علم بهتر است یا ثروت؟

علی در پاسخ گفت:

علم بهتر است؛ زیرا علم میراث انبیاست و مال وثروت میراث قارون و فرعون و هامان وشداد.

مرد که پاسخ سؤال خود را گرفته بود، سکوت کرد.

در همین هنگام مرد دیگری وارد مسجد شد و همان‌طور که ایستاده بود بلافاصله پرسید:

ـ اباالحسن! سؤالی دارم، می‌توانم بپرسم؟ امام در پاسخ آن مرد گفت:بپرس! مرد که آخر جمعیت ایستاده بود پرسید:-علم بهتر است یا ثروت؟

علی فرمود:

علم بهتر است؛ زیرا علم تو را حفظ می‌کند، ولی مال و ثروت را تو مجبوری حفظ کنی.

نفر دوم که از پاسخ سؤالش قانع شده بود، همان‌‌جا که ایستاده بود نشست.

در همین حال سومین نفر وارد شد، او نیز همان سؤال را تکرار کرد،و امام در پاسخش فرمود:

علم بهتر است؛ زیرا برای شخص عالم دوستان بسیاری است،ولی برای ثروتمند دشمنان بسیار!

هنوز سخن امام به پایان نرسیده بود که چهارمین نفر وارد مسجد شد. او در حالی که کنار دوستانش می‌نشست، عصای خود را جلو گذاشت و پرسید:

ـ یا علی! علم بهتر است یا ثروت؟

حضرت‌علی در پاسخ به آن مرد فرمودند:

علم بهتر است؛ زیرا اگر از مال انفاق کنی کم می‌شود؛ ولی اگر از علم انفاق کنی و آن را به دیگران بیاموزی برآن افزوده می‌شود.

نوبت پنجمین نفر بود. او که مدتی قبل وارد مسجد شده بود و کنار ستون مسجد منتظر ایستاده بود، با تمام شدن سخن امام همان سؤال را تکرار کرد.

حضرت‌ علی در پاسخ به او فرمودند

علم بهتر است؛ زیرا مردم شخص پولدار و ثروتمند را بخیل می‌دانند، ولی از عالم و دانشمند به بزرگی و عظمت یاد می‌کنند.

ـ یا علی! علم بهتر است یا ثروت؟

امام نگاهی به جمعیت کرد و گفت:

علم بهتر است؛ زیرا ممکن است مال را دزد ببرد، اما ترس و وحشتی از دستبرد به علم وجود ندارد.

مرد ساکت شد. همهمه‌ای در میان مردم افتاد؛ چه خبر است امروز! چرا همه یک سؤال را می‌پرسند؟ نگاه متعجب مردم گاهی به حضرت‌ علی و گاهی به تازه‌واردها دوخته می‌شد.

در همین هنگام هفتمین نفر که کمی پیش از تمام شدن سخنان حضرت ‌علی وارد مسجد شده بود و در میان جمعیت نشسته بود، پرسید:

ـ یا اباالحسن! علم بهتر است یا ثروت؟

امام دستش را به علامت سکوت بالا برد و فرمودند

علم بهتر است؛ زیرا مال به مرور زمان کهنه می‌شود، اما علم هرچه زمان بر آن بگذرد، پوسیده نخواهد شد.

در همین هنگام هشتمین نفر وارد شد و سؤال دوستانش را پرسید،

که امام در پاسخش فرمود

علم بهتر است؛ برای اینکه مال و ثروت فقط هنگام مرگ با صاحبش می‌ماند، ولی علم، هم در این دنیا و هم پس از مرگ همراه انسان است.

سکوت، مجلس را فراگرفته بود، کسی چیزی نمی‌گفت. همه از پاسخ‌‌های امام شگفت‌زده شده بودند که…

نهمین نفر وارد مسجد شد و در میان بهت و حیرت مردم پرسید:

ـ یا علی! علم بهتر است یا ثروت؟

امام در حالی که تبسمی بر لب داشت، فرمود:

علم بهتر است؛ زیرا مال و ثروت انسان را سنگدل می‌کند، اما علم موجب نورانی شدن قلب انسان می‌شود.

نگاه‌های متعجب و سرگردان مردم به در دوخته شده بود، انگار که انتظار دهمین نفر را می‌کشیدند. در همین حال مردی که دست کودکی در دستش بود، وارد مسجد شد.

او در آخر مجلس نشست و مشتی خرما در دامن کودک ریخت و به روبه‌رو چشم دوخت. مردم که فکر نمی‌کردند دیگر کسی چیزی بپرسد، سرهایشان را برگرداندند، که در این هنگام مرد پرسید:

ـ یا اباالحسن! علم بهتر است یا ثروت؟

نگاه‌های متعجب مردم به عقب برگشت. با شنیدن صدای علی مردم به خود آمدند:

علم بهتر است؛ زیرا ثروتمندان تکبر دارند، تا آنجا که گاه ادعای خدایی می‌کنند، اما صاحبان علم همواره فروتن و متواضعند

اگر تمام مردم دنیا همین یک سؤال را از من می‌پرسیدند، به هر کدام پاسخ متفاوتی می‌دادم.

سری هارمونیک

سری هارمونیک متناوب

عدد هارمونیک

سری هارمونیک عمومی

بررسی سری هارمونیک

مطالبی شگفت انگیز از سری هارمونیک

نوشته‌های پیشین

آرشیو موضوعی

پیوندها