سلام

همکاران دانشمند، معلمان عزیز.

ما به عنوان چشمان بینای این جامعه باید نگاه به آینده و آینده پژوهی قوی تری داشته باشیم تا فرزندان دانش آموز خود را برای زیستن در دنیای آینده آماده کنیم....

این فیلم کوتاه 5 دقیقه ای چشم اندازی از جهان در سال 2019 را نمایش می دهد.

نگاهی به جهان در سال 2019

آیا ریاضیاتی که ما به فرزندان خود می آموزیم آنها را برای زیستن در چنین دنیایی آماده خواهد کرد؟

اگر بله! که چه نیکو... و اگر نه! وظیفه خود را هرطور که در حد علم و دانش ماست، انجام دهیم.

توجه کنید که ابتدای این فیلم با نگاهی به یک کلاس و محیط آموزشی آغاز می شود و ارتباط بسیار آسان دو دانش آموز را با زبان های مختلف از دو نقطه جهان با کمک فناوری به تصویر می کشد. صفحه شیشه ای میان آنها یک مانیتور بزرگ لمسی بر روی دیوار هر دو کلاس است. وگرنه این دو کلاس در هند و استرالیا در حال برگزاری است و دو اتاق مجاور هم نیستند.

به عقیده من کوتاه بینی های امروز جامعه ما، با آگاهانه تر گام برداشتن های ما قابل برطرف شدن است.

را در نظر بگیرید: با کمی دقت متوجه می‌شویم که می‌توان یک

اگر این تناظر را به صورت مجموعه زوج های مرتب بنویسیم خواهیم داشت: متوجه می‌شویم

f از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج، تابعی است یک به یک که هر عضو از دامنه خود را دو برابر می‌کند و به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر می‌کند و می‌توان چنین ضابطه‌ای برای آن تعیین نمود:
حال در مثالی دیگر تابع را در نظر بگیرید. بیاید بجای اینکه به جای متغیر تابع عددی حقیقی قرار دهیم، متغیرهای طبیعی را جایگزین کنیم. در این صورت داریم:

مشاهده می‌کنید این تابع نیز هر عدد طبیعی را به عنوان ورودی دریافت می‌کند و آن را به یک عدد دیگر نسبت می‌دهد با این تفاوت که این تابع دیگر یک به یک نمی‌باشد و فقط بین اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی یک تناظر بوجود می‌آورد.
نمونه های دیگری نیز از این توابع وجود دارد مثلاً توابع ، ، که در آنها n عددی طبیعی است.
به چنین توابعی که از از مجموعه

دنباله (sequence) تابعی است که دامنه آن مجموعه اعداد طبیعی یا قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد. پس در حالت کلی یک دنباله چون f تابعی است از مجموعه اعداد طبیعی به یک مجموعه دیگر چون A.

اگر دامنه دنباله قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد دنباله را متناهی می‌گوییم و اگر دامنه دنباله خود مجموعه اعداد طبیعی باشد دنباله را نامتناهی می‌گوییم. به عنوان مثال دنباله اعداد طبیعی زوج کوچکتر از 10 یک دنباله متناهی است چرا که دامنه آن قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی یعنی است و دنباله اعداد زوج دنباله‌ای نامتناهی است چرا که دامنه آن خود مجموعه اعداد طبیعی است.

برای مشخص کردن یک دنباله مانند هر تابع دیگر باشد دامنه و ضابطه آن را مشخص کرد. ضابطه یک دنباله را در اصطلاح جمله عمومی آن دنباله می‌گوییم. اگر f یک دنباله باشد جمله عمومی آن را با (f(n و یا به صورتی معمول‌تر به صورت نشان می‌دهیم. پس برای نمایش مقدار دنباله f به ازای عدد طبیعی n بجای نماد (f(n معمولا از نماد استفاده می‌کنیم. به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج داریم:
برای نمایش خود دنباله از نماد استفاده می‌کنیم. پس دنباله اعداد طبیعی زوج را به این صورت نشان می دهیم:

دنباله را دنباله حقیقی می‌گویند هرگاه تابعی از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی باشد به عبارت دیگر تابعرا یک دنباله حقیقی می‌گویند.
به عنوان مثال دنبالهدنباله‌ای حقیقی است چرا که برد آن از مجموعه اعداد حقیقی است.

• لازم به توضیح است معمولاً منظور از دنباله، دنباله حقیقی است.

نمودار یک دنباله

از آنجا که دنباله یک تابع با دامنه عداد طبیعی است می‌توان دنباله را بوسیله نمودار نیز نمایش داد. این نمایش با دو روش انجام می‌شود. در یک روش می‌توان مانند توابع دیگر آن را در دستگاه مختصات دکارتی رسم کرد و در روشی دیگر می‌توان جملات آن را به همراه ذکر شماره آن جمله روی محور اعداد نشان داد. با ذکر یک مثال دو روش را توضیح می‌دهیم. به عنوان مثال می‌خواهیم دنباله اعداد زوج را به هر دو روش نشان دهیم:

• بوسیله رسم نمودار در دستگاه مختصات دکارتی: برای این منظور محور افقی را برای متغیر انتخاب کرده و محور عمودی را برای نمایش تغییرات جملات دنباله استفاده می‌کنیم. نمودار این دنباله به این صورت خواهد بود:

• بوسیله رسم نمودار روی محور اعداد: برای این منظور روی محور اعداد مقدار جملات دنباله را یافته و شماره جمله را در بالا آن می‌نویسیم مانند این نمودار:

جمله عمومی یک دنباله

همانطور که گفته شد یک دنباله تابعی با دامنه مجموعه اعداد طبیعی است پس برای دنباله ها در حالت کلی می‌توان ضابطه تعیین کرد که به ضابطه یک دنباله جمله عمومی آن دنباله می‌گویند. جمله عمومی یک دنباله به منزله یک قانون است که بوسیله آن هر عضو از دامنه(مجموعه اعداد طبیعی) به یک عضو از مجموعه برد متناظر می‌شود و به ازای هر مقدار از متغیر n، جملات دنباله را تولید می‌کند.
به عنوان مثال جمله عمومی دنباله اعداد طبیعی زوج به صورت است که همانند ضابطه تابع بوسیله آن می‌توان با قرار دادن هر n طبیعی جمله n ام را بدست آورد.
البته لازم به ذکر است همه دنباله‌ها دارای جمله عمومی نمی‌باشند. به عنوان مثال تا کنون جمله عمومی برای دنباله اعداد اول تعیین نشده است. همچنین ممکن است یک سری از اعداد را به عنوان جملات دنباله انتخاب نمود که نتوان میان آنها رابطه ای برقرار نمود و جمله عمومی برای آنها نوشت.
حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا با در اختیار داشتن جملات یک دنباله می توان جمله عمومی آن را تعیین کرد؟
پاسخ را با یک مثال بررسی می‌کنیم. دنباله زیر را در نظر بگیرید:

می‌خواهیم جمله عمومی این دنباله را با توجه به جملاتش تعیین کنیم.
با مشاهده‌ی جملات ممکن است حدس شما این باشد که این دنباله، دنباله اعداد طبیعی فرد بزرگتر از یک است و جمله عمومی آن را می‌توان به این صورت نوشت:

اما این ممکن است یک جمله عمومی برای این دنباله باشد. ممکن است جملات دنباله در ادامه به این روال پیش نروند
و جمله چهارم این دنباله عددی چون 9 نباشد! چرا که ما از جمله سوم به بعد دنباله هیچ اطلاعی نداریم و هر عدد دیگری نیز می‌تواند باشد!
به عنوان مثال جمله عمومی دنباله فوق را می‌توان به این صورت نوشت:

با نوشتن جملات این دنباله داریم:

مشاهده می‌کنید جملات این دنباله تا جمله سوم همانند دنباله است ولی از جمله سوم به بعد مانند آن دنباله عمل نمی کند.
پس همواره از روی جملات یک دنباله نمی‌توان جمله عمومی آن را به درستی تعیین کرد. اما معمولاً برای نوشتن جمله عمومی یک دنباله با توجه به جملات آن، ساده ترین حالت را در نظر می‌گیریم. لذا جمله عمومی برای این دنباله صحیح‌تر است و زودتر به ذهن خطور می‌کند.

رابطه بازگشتی و دنباله بازگشتی

به دنباله اعداد زوج دقت کنید: ...,2,4,6,8,10,12
با کمی دقت در می‌یابید که برای بدست آوردن هر جمله کافی است جمله قبل را با عدد دو جمع کنید. به عنوان مثال برای بدست آوردن جمله پنجم(10) کافی است جمله چهارم(8) را با عدد دو جمع کنید. به این رابطه که بین جملات این دنباله برقرار است رابطه بازگشتی می گوییم.

• تعریف: در بسیاری از دنباله‌ها بین هر جمله و جملات ماقبل یک رابطه‌ای وجود دارد که بوسیله آن می‌توان جملات بعدی را تعیین نمود. به چنین رابطه‌ای، رابطه بازگشتی می‌گوییم و به دنباله‌هایی با این رابطه، دنباله بازگشتی می‌گوییم.

از معروف ترین این دنباله ها می توان به دنباله فیبوناتچی و دنباله لوکا اشاره کرد.
به عنوان مثال دنباله فیبوناتچی دارای چنین رابطه‌ای است که بوسیله آن مشخص می‌شود:

که جملات آن به این صورت است: ...,1,1,2,3,5,8,13,21
مشاهده می‌شود برای بدست آوردن هر جمله از جمله دوم به بعد کافی است دو جمله ماقبل آن جمله را با هم جمع کنیم. مثلا برای محاسبه جمله نهم داریم:

از آنجا که دنباله نیز تابع می‌باشد می‌توان حد آن را نیز بررسی کرد. در ادامه مطلب می توانید اطلاعاتی در مورد همگرایی دنباله ها را مطالعه کنید.

مفهوم شهودی حد دنباله

دنباله را درنظر بگیرید. چند جمله اول این دنباله به این صورت است:

ملاحضه می‌کنید جملات این دنباله رفته رفته به عدد یک نزدیک می‌شوند. کار را ادامه بدهید و جملات را افزایش بدهید:

خوب تا اینجا به صورت شهودی، متوجه می‌شویم که هر چه بیشتر جلو می‌رویم و تعداد جملات (n) را افزایش می‌دهیم مقدار دنباله به عدد 1 نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود (لااقل تا الان که این‌طور بوده است!). حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا می‌توانیم حکمی کلی صادر کنیم و بگویم به طور کلی هرچه تعداد جملات را افزایش بدهیم جملات دنباله به عدد 1 نزدیک و نزدیک‌تر می‌شوند یا به عبارت دیگر می‌توان جملات دنباله را به هر مقدار دلخواه به عدد 1 نزدیک کرد به شرط اینکه مقدار n به قدر کافی بزرگ باشد؟

مثلا اگر ما n را برابر 1000000 قرار دهیم مقدار دنباله بدست می‌آید و اگر n را 1000000000000 انتخاب کنیم مقدار دنباله برابر خواهد بود با عدد که مقداری بسیار نزدیک به 1 است. آیا می‌توان با اطمینان گفت با انتخاب n مناسب می‌توان بیشتر و بیشتر به 1 نزدیک شد و تقریب‌های نزدیک‌تر به عدد 1 بدست آورد؟

خوب پس در اینجا با یک حدس روبرو هستیم که باید آن را ثابت یا رد کنیم، و آن این است که دنباله را به هر میزان می‌توان به 1 نزدیک کرد به شرط اینکه n به قدر کافی بزرگ انتخاب شده باشد. بیاید با هم سعی در اثبات این حدس کنیم.

اولین قدم برای اثبات این است که سعی کنیم مسئله را به زبان ریاضی (صوری) بنویسیم که بتوانیم آن را از نظر ریاضی بهتر بررسی کنیم. در واقع بیان ریاضی حدس ما این است که اگر ما هر همسایگی دلخواه از عدد 1 را در نظر بگیریم مانند (که اپسیلون عددی حقیقی مثبت و لخواه است)، بالاخره به‌ازای یک N ای جملات دنباله از این به بعد (از این N به بعد) در این همسایگی قرار می‌گیرند یعنی بالاخره برای هر یک N ای از اعداد طبیعی وجود دارد که برای n>N داریم:

به عنوان مثال اگر همسایگی را انتخاب کنیم (یعنی اپسیلون را 0.01 بگیریم) برای n>1000 خواهیم داشت: یعنی از جمله 1000ام به بعد همه جملات دنباله در این همسایگی قرار می‌گیرند. زیرا ، n>1000 و لذا داریم و در نتیجه:

پس در اینجا N مورد نظر N=1000 است که از این جمله به بعد جملات دنباله در همسایگی مورد نظر قرار می‌گیرند. پس حالا متوجه شدیم که برای اثبات حکم باید چکار کنیم. هدف ما این است که تحقیق کنیم آیا این N همواره برای هر همسایگی دلخواه (یا به عبارتی برای هر اپسیلون) وجود دارد یا نه؟

لذا با یک قضیه وجودی روبرو هستیم یعنی برای اثبات این قضیه کافی است برای هر همسایگی دلخواه از 1 مانند (که اپسیلون عددی حقیقی و مثبت است) یک N از اعداد طبیعی را معرفی کنیم که برای n>N داشته باشیم:

پس فرض می‌کنیم عددی حقیقی مثبت دلخواهی باشد (با این فرض در حقیقت یک همسایگی دلخواه از 1 را انتخاب کردیم)، سعی می‌کنیم برای این اپسیلون یک N ای از اعداد طبیعی پیدا کنیم که n>N نامساوی را ایجاب کند. خوب از اینجا به بعد باید به دنبال یک N بگردیم و یافتن N به ابتکار شما و مهارت‌های ریاضی شما بستگی دارد. ببینیم می‌توانیم با ایجاد تغییراتی در حکم، ایده‌ای برای معرفی N مناسب بگیریم یا نه؟ ما می‌خواهیم N مناسب طوری باشد که n>N ایجاب کند ازاینجا داریم:

خوب با توجه به اینکه روابط فوق برگشت پذیر است متوجه می‌شویم که با استفاده هر عدد طبیعی بزرگتر ازمی‌توان نامساوی را نتیجه گرفت، یعنی ایجاب می‌کند پس اگر ما یکی از اعداد طبیعی بزرگتر از را به عنوان N مناسب معرفی کنیم حکم ثابت می‌شود. اما چه N ای؟
بیاید قرار دهیم که نماد نماد جزء صحیح است. بوضوح N ای که معرفی کردیم عدی طبیعی است و همچنین بنابر خواص جز صحیح عددی بزرگتر از است. پس یک N را پیدا کردیم و ادعا می‌کنیم این N همان N مناسبی است که n>N نامساوی را ایجاب می‌کند زیرا:

پس چون اپسیلون دلخواه بود N معرفی شده برای هر اپسیلون مناسب است. یعنی برای هر همسایگی دلخواهی از 1 که انتخاب کنیم مانند کافی است N را برابر بگیریم که در این صورت جملات دنباله از این N به بعد همگی در همسایگی مورد نظر ما قرار می‌گیرند. و به این ترتیب درستی حدس ما معلوم می‌شود. در دنباله می‌توانیم جملات دنباله را به اندازه دلخواه به 1 نزدیک کنیم به شرط اینکه n را به اندازه کافی بزرگ اختیار کنیم. به بیان دیگر با افزایش n جملات دنباله به 1 نزدیک و نزدیک‌تر می‌شوند.

• در این حالت می‌گوییم حد دنباله برابر است با 1و یا به صورتی رایج‌تر می‌گوییم دنباله به عدد 1 همگرا است و می‌نویسیم وقتی ، آنگاه و یا به طور ساده‌تر .

حال که مفهوم حد یک دنباله را متوجه شدید کمی دقیق‌تر می‌شویم و سعی می‌کنیم تعریفی صوری از تعریف حد ارائه دهیم که به کمک آن بتوانیم قضایای حد را توجیه و اثبات کنیم.

تعریف حد یک دنباله

دنباله را دارای حد یا همگرا می‌گوییم هرگاه عددی حقیقی چون L موجود باشد به طوری که برای هر عدد حقیقی مثبت چون ، عددی طبیعی چون موجود باشد که برای هر n>N داشته باشیم:

به عبارت دیگر می‌گوییم دنباله دارای حد L است یا به L همگرا است هرگاه:

در این حالت می‌گوییم دنباله به L همگرا است و می‌نویسیم وقتی آنگاه یا . به بیان ساده‌تر و کمی دورتر از عبارات صوری ریاضی، L حد دنباله است اگر برای هر همسایگی دلخواه از L، جملات دنباله از شماره‌ای به بعد (از یک N ای به بعد) در این همسایگی دلخواه قرار بگیرند یا اینکه جملات دنباله را بتوان به قدر کافی به L نزدیک کرد به شرط اینکه n به قدر کافی بزرگ باشد.

همچنین می‌گوییم دنباله حد نامتناهی یا بینهایت دارد هرگاه:

به عبارت دیگر دنباله حد نامتناهی یا بینهایت دارد هرگاه از یک شماره‌ای چون N به بعد جملات دنباله از هرعدد حقیقی مثبت بزرگتر یا از هر عدد حقیقی منفی کوچکتر بشوند یعنی به طور بی کران بزرگ یا کوچک شوند. در این حالت می‌نویسیم:

• دنباله را یک بینهایت کوچک می‌گوییم هرگاه و یک بینهایت بزرگ می‌گوییم هرگاه

با استفاده از تعریف فوق می‌توانیم به اثبات قضایای حدود بپردازیم. روش اثبات همان روشی است که در قسمت قبلی از آن استفاده کردیم. حال به عنوان تمرین می‌خواهیم با استفاده از تعریف حد دنباله‌ها ثابت کنیم:

ابتدا حکم را مشخص می‌کنیم. می‌خواهیم نشان دهیم:

کافی است m مناسب را برای هر معرفی کنیم. بیاید مانند مثالی که قبلا بررسی کردیم سعی کنیم از حکم m مناسب را استخراج کنیم. با فرض دلخواه و از این پس ثابت، m مطلوب ما m ای است که برای هر n>m داشته باشیم از اینجا داریم:

اما نامساوی فوق برای هر برقرار نمی‌باشد (به عنوان مثال برای اپسیلون برابر با 3) پس m ای که ما از این طریق بدست می‌آوریم برای ما مناسب نمی‌باشد پس با کمی در روش خود تجدید نظر کنیم. برای این کار سعی می‌کنیم به نوعی نامساوی را تغییر دهیم. داریم:

حال اگر m مناسب را از نامساوی جدید پیدا کنیم قطعاً برای نامساوی اصلی نیز مناسب خواهد بود (در واقع دلیل این مسئله این است که چیزی که برای ما مهم است نتیجه حاصل از برگشت این روابط است). با استفاده از نامساوی جدید داریم:

حال کافی است m را عددی طبیعی بزرگتر از اختیار کنیم مثلاً حال ادعا می‌کنیم این همان m ای است که برای هر n>m داریم:

زیرا:

حال در قسمت بعدی به بررسی قضایای حد دنباله‌های و نحوی محاسبه حدود دنباله‌ها می‌پردازیم.

• به عنوان تمرین ثابت کنید دنباله واگرا است.

قضایای حد دنباله‌ها

• قضیه1: حد یک دنباله در صورت وجود، منحصر بفرد است.

برهان:
فرض می‌کنیم دنباله به و همگرا باشد(فرض خلف). چون داریم:

از طرفی چون داریم:

حال قرار می‌دهیم ، در این صورت برای هر n>m داریم و که این دو باهم ایجاب می‌کنند:

حال قرار می‌دهیم که در این صورت خواهیم داشت:

که این تناقض است. پس فرض خلف باطل و حکم برقرار است.

• قضیه 2: هر دنباله همگرا کراندار است.

برهان: فرض می‌کنیم دنباله همگرا به L باشد. نشان می‌دهیم عددی چون k وجود دارد که برای هر عدد طبیعی n داریم:

بنا به فرض چون به L همگرا است لذا داریم:

همچنین بنا به خواص قدر مطلق داریم:

اما این نامساوی برای n>m درست خواهد بود و سایر جملات یعنی ممکن است در این نامساوی صدق نکنند پس قرار می‌دهیم:

در این صورت برای هر n طبیعی داریم که این نشان می‌دهد k یک کران برای دنباله مورد نظر است و حم ثابت می‌شود.

• قضیه 3: حد یک دنباله با جملات نامنفی، نامنفی است و حد یک دنباله با جملات نامثبت، نامثبت است.

برهان:
فرض می‌کنیم دنباله‌ای همگرا به L، باجملات نامنفی باشد یعنی برای هر n طبیعی داشته باشیم ، نشان می‌دهیم. فرض می‌کنیم (فرض خلف). در این صورت چون دنباله به L همگرا است بنا به تعریف داریم:

قرار می‌دهیم خواهیم داشت:

ک این با فرض نامنفی بودن جملات دنباله در تناقض است، پس فرض خلف باطل و حکم برقرار است. حکم دوم نیز به طریق مشابه اثبات می‌شود.

• قضیه 4: اگر دنباله به L همگرا باشند که ، جملات دنباله از شماره‌ای به بعد با L هم‌علامت می‌باشند.

برهان:
ابتدا فرض می‌کنیم L>0، در این صورت چون دنباله به L همگرا است داریم:

فرض می‌کنیم در این صورت برای هر n>m داریم:

پس از یک شماره‌ای به بعد (از یک m ای به بعد) داریم و لذا در این حالت حکم برقرار است. حالت L<0 نیز به طریق مشابه اثبات می‌شود.

• قضیه 5: اگر و دو دنباله باشند که به ترتیب به

و همگرا می‌باشند آنگاه:

برهان:
به عنوان نمونه مورد اول را ثابت می‌کنیم.
چون به l همگرا است داریم:

و چون به همگرا است داریم:

با فرض ، برای هر n>m داریم و
که با جمع طرفین نامساوی داریم:

پس این نشان می‌دهد که:

و برهان حکم کامل است.

• قضیه 6: اگر دنباله به همگرا باشد و بههمگرا باشد و برای هر n طبیعی، آنگاه

برهان:
فرض می‌کنیم در این صورت چون برای هر n طبیعی داریم لذا پس بنا به قضیه 3، حد نامنفی است پس داریم:

• قضیه 7: مجموع و تفاضل دو دنباله همگرا همگرا است.

برهان: این قضیه مستقیما از قضیه 5، قسمت اول نتیجه می‌شود.

• قضیه 8: اگر دنباله همگرا باشد و دنباله واگرا باشدو واگرا می‌باشند.

برهان:
اثبات به برهان خلف است. فرض می‌کنیم همگرا باشد، در این صورت بنا به قضیه قبل چون تفاضل دو دنباله همگرا، همگرا است پس نیز همگرا است که این تناقض است. پس فرض خلف باشد و واگرا است. به طریق مشابه ثابت می‌شود نیز واگرا است

قضیه ساندویچ یا فشردگی

اگر و و سه دنباله باشند به طوری که برای هر n طبیعی، داشته باشیم و نیز آنگاه:

برهان: برطبق فرض چون داریم:

همچنین چون داریم:

حال با فرض برای هر n>m داریم:

و چون بنا به فرض پس:

و لذا که این نشان می‌دهد:

• نتیجه: اگر دنباله‌ای کراندار و دنباله به صفر همگرا باشد آنگاه:

برهان:
برطبق فرض چون کراندار است پس عددی چون k وجود دارد که برای هر n طبیعی داشته باشیم پس:

اما از طرفی پس بنا بر قضیه ساندویچ داریم:

قضیه بولتسانو-وایراشتراس

هر دنباله یکنوا و کراندار همگرا است. به عبارت دقیقتر هر دنباله صعودی و کراندار به سوپریمم خود (sup) و هر دنباله نزولی کراندار به اینفیمم خود (inf) همگرا است.
برهان:
ابتدا فرض می‌کنیم دنباله‌ای صعودی و کراندار باشد و E مجموعه همه جملات دنباله باشد، چون زیرمجموعه‌ای ناتهی از اعداد حقیقی و کراندار است بنابر تمامیت اعداد حقیقی دارای کوچکترین کران بالا یا سوپریمم است. قرار می‌دهیم: به عبارت دیگر فرض می‌کنیم c کوچکترین کران بالای دنباله باشد. حال نشان می‌دهیم به c همگرا است. چون c سوپریمم است به ازائ هر ε>0 مفروض، به ازای عدد طبیعی N وجود دارد که . پس برای هرε>0 دلخواه بازه شامل جمله‌ای از چون است. اما چون دنباله صعودی است برای هر n>N داریم: و این نشان می‌دهد: .

به همین صورت ثابت می‌شود اگر نزولی و کراندار باشد به اینفیمم همگرا است و برهان کامل می‌شود.

دانلود جزوه هندسه تحلیلی مبحث بردارها

شامل مباحث :  آشنایی با فضای R3 -اجزای دستگاه دکارتی در فضا -قرینه نقطه نسبت به محور وصفحات مختصات - فاصله دو نقطه در فضا - ویژگی های بردار - ضرب عدد در بردار و تعبیر هندسی آن - جمع و تفاضل بردارها - بردارهای یکه - ویژگی های ضرب داخلی دو بردار و تعبیر هندسی آن - زاویه بردار با محورهای مختصات - کسینوس های هادی - نامساوی کوشی شوارتز -تصویر بردارها - قرینه بردارها

مطالب مرتبط :

دانلود جزوه هندسه تحلیلی مبحث بردارها بخش دوم

دانلود جزوه هندسه تحلیلی مبحث بردارها بخش اول

برای دانلود اینجا کلیک کنید. توجه کنید قبل از نصب راهنمای نصب رو بخونیدو حتما برنامه ورد بسته باشه..(همراه با کرک)

شاید مشکل اکثر کاربران، فارسی نویسی در این برنامه باشد. با توجه به شکل بر روی گزینه Style:math کلیک کرده تا صفحه Define styles باز شود. پس از باز شدن صفحه موردنظر منوی کشویی primary font را باز کرده و یک فونت فارسی را انتخاب می کنیم . در صورتی که در محیط برنامه همچنان اعداد به صورت انگلیسی نوشته می شود با انتخاب دیگر فونت ها این مشکل را حل کنید

توضیحات بیشتر:

نرم افزار MathType ابزاری قدرتمند برای ویندوز می باشد که به شما اجازه می دهد به راحتی نماد های ریاضی را برای کار در word، صفحان وب، چاپ کردن، نمایش و Tex ،Latex ،MathML documents به کار ببرید.
حتماً برای شما هم پیش آمده که بخواهید فرمول های ریاضی، فیزیک و ... را تایپ کنید، اگر در این کار مبتدی باشید حتماً از سختی تایپ کلافه می شوید، MathType با امکانات زیاد و فرمول های آماده نه تنها کاربران مبتدی را در حد پیشرفته ای کمک می کند بلکه کاربران حرفه ای خیلی سریعتر و راحت تر می توانند از فرمول ها استفاده نمایند. نمادهای بسیار و قالب ها و فونت های همراه با این نرم افزار خیلی از نیاز های شما را برای ایجاد یک فرمول با شکل دلخواه بر طرف می کند. می توانید به راحتی از نماد های ریاضی موجود بر روی سیستم خود نیز استفاده کنید و در نرم افزار ذخیره کنید پس اگر نیازمند فرمول خاصی هستید کافی است آن را دانلود کنید و به راحتی به نرم افزار اضافه کنید. اگر از یک نماد ریاضی بسیار استفاده می کنید می توانید برای آن یک کلید ترکیبی تعیین کنید تا سریع در دسترس شما باشد.
به راحتی فرمول ها را ویرایش کنید مانند کلمات معمولی آن ها را رنگی کنید و استایل مورد نظر خود را به آن بدهید. این نرم افزار به عنوان پلاگین به راحتی با نرم افزار های Microsoft Word ،PowerPoint ،Quark XPress documents ،Adobe InDesign layouts ،Excel spreadsheets ،HTML pages و ... همراه می شود تا راحت تر بتوان از آن استفاده کرد.

قابلیت های کلیدی نرم افزار MathType:
- قالب بندی خودکار
- مجموعه ای از سمبل ها و نمونه های مفید
- رنگ
- خط کش با فرمت بندی دقیق
- پشتیبانی از صفحه کلید و کاراکتر های بین المللی
- دستور تنظیم مجدد سایز
- قابلیت حذف و اضافه کردن سطر و ستون به ماتریس
- گزینه هایی برای تنظیم براکت و پرانتز
- قابلیت undo & redo نامحدود
- شناسایی توابع قابل تنظیم
- ابزارهای قدرتمند برای Microsoft Word & PowerPoint
- صفحات ریاضی به صورت Word و انترنتی
- شماره گذاری خودکار فایل
- پایگاه داده ی کاراکترهای Unicode-based
- قابلیت ویرایش به صورت Drag & drop
- و ..

ضمن آرزوی موفقیت برای دانش آموزان چهارم خلاصه مباحث ریاضی چهارم انسانی و تچربی را از طریق لینک های زیر می توانند دریافت نمایند.

نکات کنکوری ریاضی رشته انسانی

نکات کنکوری رشته تجربی

وقوع حادثه ی زمین لرزه در شهرستان های اهر- ورزقان و هریس و سایر شهرها و روستاهای استان آذربایجان شرقی که باعث کشته و مجروح و آواره شدن تعداد کثیری از مومنان و هموطنان روزه دار عزیزمان گردید موجب تاسف و تاثر شدید مدیریت وبلاگ مهارت در ریاضیات و خوانندگان محترم آن گردید.

از خداوند متعال برای درگذشتگان رحمت واسعه و برای بازماندگان و آوارگان صبر جزیل مسئلت می نماییم.

بی همگان به سر شود ، بی تو بسر نمیشود

بردارها

برخی از کمیات که اندازه می‌گیریم با اندازه‌شان کاملا مشخص می‌شوند مانند جرم ، طول ، زمان. اما همانطور که می‌دانیم توصیف یک نیرو ، تغییر مکان و سرعت تنها با اندازه مشخص نمی‌شوند بلکه برای درک صحیحی از آنها باید جهت آنها نیز برای ما مشخص باشند کمیاتی که علاوه بر اندازه دارای جهت نیز می‌باشند معمولا با پیکانهایی به نمایش درمی‌آیند که به جهت اثر کمیت اشاره می‌کنند و طول‌هایشان به اندازه اثر آنها برحسب واحد مشخص اشاره می‌کنند. به این کمیات بردار می‌گوییم.

یک بردار واقع در صفحه عبارت است از پاره‌خطی جهتدار از آنجا که بردار اساسا از طول و جهت تشکیل می‌شود و بردار را همسنگ و یا حتی یکی می‌نامیم هرگاه طول و جهتشان یکی باشد.

بردارهای نوین امروزی ریشه در کواترنیونها دارند. کواترنیونها تعمیمی هستند از جفت به چهارتایی مرتب . جبر کواترنیونها را ویلیام همیلتن ریاضیدان ایرلندی (1805-1865) ابداع کرد. اما مهندسان علی‌الخصوص اولیور هویساید آنالیز برداری را رواج دادند. برخی از فیزیکدانان از جمله شاخص‌ترین آنها جیمز کلارک ماکسول ، از هر دو مضمون کواترنیونها و بردارها بهره بردند. سرانجام مقارن با تحویل قرن ، آنالیز برداری گیبس و هوسیاید غلبه کرد. مهندسان از جمله نخستین معتقدان، فیزیکدانان از نخستین گروندگان و ریاضیدانان آخرین پذیرندگان این باب از ریاضیات بودند.

بردارها درفضا

مهمترین ویژگی بردارها در فضا مانند حالتی که در صفحه داشتند طول و جهت آنهاست. طول برداری مانند با دوبار استفاده از

معادلات پارامتری حرکت ایده‌آل پرتابه

برای بدست آوردن معادلات حرکت پرتابه فرض می‌کنیم پرتابه مانند ذره‌ای رفتار می‌کند که در صفحه مختصات قائم حرکت می‌کند و تنها نیروی موثر بر آن در ضمن حرکتش ، نیروی ثابت گرانش است که همواره روبه پایین است. در عمل هیچ یک از این فرضیات برقرار نیست زمین در زیر پرتابه می‌چرخد هوا نیروی اصطکاکی ایجاد می‌کند که به سرعت و ارتفاع پرتابه بستگی دارد. برای توصیف حرکت در یک دستگاه مختصات مشخص فرض می‌کنیم پرتابه در لحظه از مبدا صفحه xy پرتاب می‌شود. همچنین فرض می‌کنیم پرتابه در ربع اول حرکت می‌کند و مقدار سرعت اولیه است و بردار سرعت با محور xهای مثبت زاویه می‌سازد. در هر لحظه t ‌، ، مکان پرتابه با جفت مختصات . مشخص می‌شود. بنابراین پس از ساده‌ کردن یک سری از معادلات به روابط زیر دست می‌یابیم که مکان ذره t ثانیه پس از پرتاب برای ما مشخص می‌سازد:

خط در فضا

فاصله در فضا

گاهی لازم است که فاصله بین دو نقطه مثل در فضا مشخص باشد برای این کار طول را می‌یابیم که در اینصورت داریم:

وسط پاره خط

مختصات نقطه وسط M پاره‌خطی که دو نقطه را بهم وصل می‌کند متوسط مختصات هستند. برای پی‌بردن به دلیل این مطلب کافی است توجه کنیم که این نقطه مختصات مولفه عددی برداری است که مبدا را به M وصل می‌کند که به این ترتیب تمام مولفه‌های M از نصف مجموع مولفه‌های نظیر به نظیر بدست می‌آید.

زوایای بین خم‌ها

معادله‌های خط و پاره‌خط

فرض می‌کنیم L خطی باشد در فضا که از نقطه بگذرد و موازی با بردار باشد. پس L مجموعه نقاطی است مانند به قسمی که بردار با V موازی است یعنی P بر L واقع است اگر و تنها اگر به ازای عددی مانند t داشته باشیم: این معادلات را پس از ساده ‌کردن بصورت معادلات پارامتری متعارف خط L درست می‌یابیم که عبارت‌اند از:

وقتی پارامتر t از تا افزایش می‌یابد نقطه دقیقا یکبار خط را می‌پیماید. وقتی t بازه بسته را می‌پیماید، P از نقطه‌ای که در آن t=a تا نقطه‌ای که در آن t=b بر روی یک پاره‌خط جابجا می‌شود.

فاصله یک نقطه از یک خط

معادله صفحه

فرض می‌کنیم M معرف صفحه‌ای از فضاست که از نقطه می‌گذردو بر بردار ناصفر عمود است. پس M از مجموعه نقاطی مانند تشکیل می‌شود که به ازای آنها بردار بر N عمود است. یعنی P روی M است اگر و تنها اگر:
با جاگذاری عبارت معادل در تساوی فوق معادله صفحه حاصل می‌شود.

زاویه بین دو صفحه ، فصل مشترک دو صفحه

بین دو صفحه متقاطع ، زاویه حاده‌ای است که دو بردار قائم بر آنها با هم می‌سازند. بنابراین زاویه بین دو صفحه که بردارهای قائم بر دو صفحه‌اند توسط رابطه زیر حاصل می‌شود:

دانلود کتاب مکمل حسابان

دانلود کتاب مکمل ریاضی 3 تجربی

دانلود کتاب مکمل ریاضی سوم انسانی

دانلود کتاب مکمل ریاضی 2

دانلود کتاب مکمل ریاضی 1