Vorgestern hat Open AI bekannt gegeben in nur 88 Stunden die Navier-Stokes-Vermutung – eines der mit 1 Million Dollar dotierten Milleniumproblem – durch ein Gegenbeispiel gelöst zu haben. Sie nutzten dafür eine interne Version, die deutlich leistungsfähiger als das kommerziell verfügbare ChatGPT-6 Astra ist und ließen etwa 10000 Intelligenzen an dem Problem arbeiten. Grob geschätzt…
Die Millenium-Probleme wurden 2000 vom Clay-Institut ausgelobt mit jeweils einer Million Dollar Preisgeld. Das bisher einzige gelöste war die von Gregori Perelman bewiesene Poincaré-Vermutung. Gerüchteweise soll sich Perelman nach dem Abschluss der Arbeit an der Poincaré-Vermutung dem nächsten Milleniumproblem, der Regularität der Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen zugewandt haben, erfolglos. Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegung von Flüssigkeiten…
Hier noch einmal alle Artikel der Reihe: Die Klassifikation der einfachen Lie-Algebren. Der Wiederkehrsatz von Poincaré Minkowskis Gitterpunktsatz Ljapunow-Stabilität Hilberts Nullstellensatz Der Überdeckungssatz von Heine-Borel Poincaré-Dualität Der Primzahlsatz Hilberts Produktformel Komponierbarkeit quadratischer Formen Die Widerspruchsfreiheit der euklidischen Geometrie Das Runge-Kutta-Verfahren Lebesgues Satz über dominierte Konvergenz Fortsetzbarkeit von L-Funktionen Die Fredholm-Alternative Der Wohlordnungssatz Schurs Lemma Der…
Was ist die minimale Fläche in der Ebene, die man braucht, um eine Nadel der Länge 1 einmal um 360 Grad zu drehen? Eine offensichtliche Möglichkeit ist ein Kreis von Durchmesser 1, in dem man die Nadel natürlich einmal herumdrehen kann. Die Fläche dieses Kreises ist π/4=0.78.. Eine bessere Möglichkeit ist das unten dargestellte Deltoid.…
Die klassische Langlands-Korrespondenz für Zahlkörper stellt Beziehungen zwischen Zahlentheorie und Darstellungstheorie her, nämlich zwischen automorphen Formen und Galois-Darstellungen. Sie hat auch eine Version für Funktionenkörper (von algebraischen Kurven über endlichen Körpern), die für G=GLn von Lafforgue bewiesen wurde. In Analogie zu diesen Langlands-Korrespondenzen vermuteten Drinfeld und Laumon 1987 eine geometrische Langlands-Korrespondenz. Hier geht es ebenfalls…
Für eine Riemannsche Fläche X und eine reduktive algebraische Gruppe G gibt nichtabelsche Hodge-Theorie einen Isomorphismus zwischen der Charaktervarietät der Darstellungen von π1X in G und dem Modulraum der G-Higgs Bündel über X. Diese in den 80er Jahren von Carlos Simpson entwickelte Theorie verallgemeinerte den Satz von Narasimhan und Seshadri, der für G=U(n) einen Isomorphismus…
Shimura-Varietäten kommen in der algebraischen Geometrie als Modulräume abelscher Varietäten mit gewissen Zusatzstrukturen vor. Das einfachste Beispiel ist die Modulkurve H2/SL(2,Z), der Quotientenraum der oberen Halbebene unter der Wirkung der Gruppe der ganzzahligen 2×2-Matrizen SL(2,Z) durch gebrochen-lineare Transformationen . Sie ist der Modulraum elliptischer Kurven, denn zu einer elliptischen Kurve hat man ihre j-Invariante in…
Pierre Curie hatte 1895 beobachtet, dass Magnete ab einer bestimmten (materialabhängigen) kritischen Temperatur ihre magnetische Wirkung verlieren, also ein Phasenübergang stattfindet. Dies wurde später zu erklären versucht mit einem Modell, in dem Magnete aus vielen kleinen Magneten zusammengesetzt sind. Der Physiker Wilhelm Lenz argumentierte, dass diese Elementarmagneten nicht frei drehbar sein sollten, sondern nur zwei…
In Philadelphia werden heute die Preisträger der alle vier Jahre vergebenen Fields-Medaillen bekanntgegeben. Es handelt sich um Yu Deng, John Pardon, Jacob Tsimerman und Hong Wang. Die Liste wurde diesmal schon eine gute Woche zuvor geleakt, was zumindest Journalisten die Gelegenheit gibt, besser vorbereitete Artikel zu schreiben. Yu Deng, geboren 1989 in China, promovierte 2015…
Fast im Wochentakt liest man aktuell von Widerlegungen alter, bekannter Vermutungen der Mathematik durch künstliche Intelligenzen. “… with these extraordinary new AI tools, counterexamples might be low-hanging fruit right now“ schreibt Kevin Buzzard. Ende Mai widerlegte eine KI die Vermutung von Erdös über unterschiedliche Abstände, vor zehn Tagen widerlegte eine KI die Vermutung von Grothendieck…
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