Suma

Per a altres significats, vegeu «Suma Gestió Tributària».

«Sumar» redirigeix aquí. Si cerqueu la plataforma política, vegeu «Sumar (política)».

La suma o addició és una operació aritmètica bàsica que permet saber la quantitat total d'elements d'un conjunt com a resultat d'ajuntar tots els elements de dos conjunts inicials.

La suma és una operació definida per a tots els nombres, com els naturals, sencers, racionals, reals i complexos. També es poden sumar altres entitats matemàtiques, com vectors, polinomis, funcions o matrius.

Notació

La columna de l'esquerra és un conjunt de 3 pomes. La columna de la dreta és un conjunt de 2 pomes. El conjunt unió de tots dos en té 5, per tant, diem que 3 + 2 = 5

La suma s'escriu utilitzant el signe més + entre els termes, i el resultat s'expressa amb un signe igual. Per exemple, 1 + 2 = 3 diu un més dos igual a tres. Si tots els termes s'escriuen individualment, hom empra aquest símbol + per indicar l'operació; amb això, la suma dels nombres 1, 2 i 4 és 1 + 2 + 4 = 7.

També es pot emprar el símbol + quan, tot i no escriure's individualment els termes, s'indiquen els nombres omesos mitjançant punts suspensius i és senzill reconèixer-los. Per exemple:

• 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 és la suma dels cent primers nombres naturals.
• 2 + 4 + 8 + ... + 512 + 1024 és la suma de les deu primeres potències de 2.

En sumes llargues i fins i tot sumes infinites s'empra un nou símbol, que es diu sumatori i es representa amb la lletra grega Sigma (Σ) majúscula. No obstant això, hi ha algunes situacions en què s'entén la suma tot i que no apareix cap símbol: un nombre enter seguit immediatament d'una fracció indica la suma dels dos, anomenada nombre mixt, com per exemple:$$3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3.5.$$

Aquesta notació pot causar confusió, ja que en la majoria dels altres contextos, la juxtaposició denota multiplicació.

Els termes dels sumands en l'operació d'una suma

Els nombres o els objectes que s'han de sumar en la suma general es denominen col·lectivament com a termes, o els sumands. Els termes inicials d'una suma s'anomenen així per aplicar-se a la suma de múltiples elements, fet que s'alberga de distingir dels factors, que es multipliquen. Alguns autors anomenen el primer sumand l’augend. De fet, durant el Renaixement, molts autors no consideraven el primer sumand com un sumand en absolut. Avui dia, a causa de la propietat commutativa de la suma, el mot augend s'utilitza rarament, i ambdós components s'anomenen generalment sumands.

Tota la terminologia anterior deriva del llatí.

Il·lustració redibuixada de The Art of Nombryng, un dels primers textos aritmètics anglesos, del segle xv.

Les paraules suma i sumand deriven del substantiu llatí summa el mais alt o el cim, utilitzat en l'expressió llatina medieval summa linea (línia superior), que significa la suma d'una columna de quantitats numèriques. Això seguia la pràctica de l'Antiga Grècia i l'Antiga Roma de col·locar el resultat a la part superior d'una columna de dades. Els verbs addere i summare es remunten com a mínim a Boeci, si no a escriptors romans anteriors com Vitruvi i Frontí; el mateix Boeci també va utilitzar diversos altres termes per a referir-se a l'operació. Més endavant, els termes propis de l'anglès mitjà adden i adding van ser popularitzats per l'escriptor Chaucer.

Definició i interpretacions

La suma és una de les quatre operacions bàsiques de l'aritmètica, i les altres tres són la resta, la multiplicació i la divisió. Aquesta operació funciona sumant dos o més termes. Un nombre arbitrari d'operacions de suma s'anomena suma. Una suma infinita és un procediment delicat conegut com a sèrie, i es pot expressar mitjançant la notació sigma majúscula. ${\textstyle \sum }$, que denota de manera compacta la iteració de l'operació de suma basada en els índexs donats. Per exemple,

$$\sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.$$

L'addició s'utilitza per modelar molts processos físics. Fins i tot per al cas simple de sumar nombres naturals, hi ha moltes interpretacions possibles i fins i tot més representacions visuals.

Combinant conjunts

Un conjunt té tres formes mentre que l'altre en té dues. El total de formes és cinc, la qual cosa és conseqüència de la suma dels objectes dels dos conjunts: $3+2=5$.

Possiblement la interpretació més bàsica de la suma rau en la combinació de conjunts, és a dir:

«

Quan es combinen dues o més col·leccions disjuntes en una única col·lecció, el nombre d'objectes de la col·lecció resultant és la suma dels nombres d'objectes de les col·leccions que originals.

»

Aquesta interpretació és fàcil de visualitzar, amb poc perill d'ambigüitat. També és útil en matemàtiques superiors (per a la definició rigorosa que inspira. Tanmateix, no és obvi com s'hauria d'ampliar aquesta interpretació per incloure nombres fraccionaris o negatius.

Una possibilitat és considerar col·leccions d'objectes que es poden dividir fàcilment, com ara pastissos o, encara millor, barres segmentades. En lloc de combinar únicament conjunts de segments, les barres es poden unir extrem amb extrem, cosa que il·lustra una altra concepció de l'addició: sumar no les barres sinó les longituds de les barres.

Allargar una longitud

Una representació gràfica a la recta numèrica de la suma $2+4=6$. Un «salt» de longitud $2$ seguit d'un altre de longitud $4$ equival a un salt de longitud $6$.

Una representació gràfica a la recta numèrica de la suma $2+4=6$ realitzada com a quatre sumes d'una unitat. Una translació de $4$ unitats equival a quatre translacions d'una unitat.

Una segona interpretació de l'addició prové d'ampliar una longitud inicial per una longitud determinada:

«

Quan una longitud inicial s'amplia en una quantitat determinada, la longitud final és la suma de la longitud inicial i la longitud de l'ampliació.

»

La suma $a+b$ es pot interpretar com una operació binària que combina $a$ i $b$ algebraicament, o es pot interpretar com la suma de $b$ més unitats a $a$. Segons aquesta última interpretació, les parts d'una suma $a+b$ jugar rols asimètrics i l'operació $a+b$ es considera com l'aplicació de l’operació unària $+b$ a $a$ En lloc de trucar a tots dos $a$ i $b$ sumands, és més apropiat anomenar $a$ l'augend en aquest cas, ja que $a$ juga un paper passiu. La perspectiva unitària també és útil quan es parla de resta, perquè cada operació de suma unària té una operació de resta unària inversa, i viceversa.

Propietats

Commutativitat

4 + 2 = 2 + 4 amb blocs

La suma és commutativa, és a dir, que es pot canviar l'ordre dels termes d'una suma, però obtenir el mateix resultat. Simbòlicament, si $a$ i $b$ són dos nombres qualssevol, aleshores: $$a+b=b+a.$$ El fet que la suma sigui commutativa es coneix com la llei commutativa de la suma o propietat commutativa de la suma. Algunes altres operacions binàries també són commutatives, com ara la multiplicació , però d'altres no ho són, com ara la resta i la divisió.

Associativitat

2 + (1 + 3) = (2 + 1) + 3 amb varetes segmentades

La suma és associativa, és a dir, quan se sumen tres o més nombres, l’ordre de les operacions no canvia el resultat. Per a tres nombres qualssevol $a$, $b$, i $c$, és cert que: $$(a+b)+c=a+(b+c).$$ Per exemple, $(1+2)+3=1+(2+3)$.

Quan la suma s'utilitza juntament amb altres operacions, l’ordre de les operacions esdevé important. En l'ordre estàndard d'operacions, la suma té una prioritat inferior a l'exponenciació, les arrels enèsimes, la multiplicació i la divisió, però té la mateixa prioritat que la resta.

Element d'identitat

5 + 0 = 5 amb bosses de punts

Afegir un zero a qualsevol nombre no canvia el nombre. En altres paraules, el zero és l’element identitat de l'addició i també es coneix com a identitat additiva. En símbols, per a cada $a$, es té: $$a+0=0+a=a.$$ Aquesta llei es va identificar per primera vegada al Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta l'any 628dC, tot i que ho va escriure com tres lleis separades, depenent de si $a$ és negatiu, positiu o zero en si mateix, i va utilitzar paraules en lloc de símbols algebraics. Més tard, altres matemàtics indis van refinar el concepte. Cap a l'any 830, Mahavira va escriure: «el zero esdevé el mateix que allò que se li afegeix», corresponent a l'afirmació unitària. $0+a=a$. Al segle XII, Bhaskara va escriure: «En l'addició o la subtracció d'un xifrat, la quantitat, positiva o negativa, roman la mateixa», corresponent a l'afirmació unitària $a+0=a$

Successor

En el context dels nombres enters, l'addició d’un també juga un paper especial: per a qualsevol nombre enter $a$, l'enter $a+1$ és el menor enter més gran que $a$, també conegut com el successor de $a$. Per exemple, 3 és el successor de 2 i 7 és el successor de 6. A causa d'aquesta successió, el valor de $a+b$ també es pot veure com el $b$- successor de $a$, fent que l'addició sigui una successió iterada. Per exemple, 6 + 2 és 8, perquè 8 és el successor de 7, que al seu torn és el successor de 6, de manera que 8 és el segon successor de 6.

Unitats

Per sumar numèricament quantitats físiques amb unitats, aquestes s'han d'expressar amb unitats comunes. Per exemple, sumant 50 mil·lilitres a 150 mil·lilitres donen 200 mil·lilitres. D'altra banda, normalment no té sentit intentar sumar 3 metres i 4 metres quadrats, ja que aquestes unitats són incomparables; aquest tipus de consideració és fonamental en l'anàlisi dimensional.

Propietats de la suma

1. Propietat commutativa: si s'altera l'ordre dels sumands no canvia el resultat, d'aquesta forma, a+b=b+a.
2. Propietat associativa: a+(b+c) = (a+b)+c.
3. Element neutre: 0. Per a qualsevol nombre a, a + 0 = 0 + a = a.
4. Element oposat. Per a qualsevol nombre a, existeix un nombre -a tal que a + (-a) = (-a) + a = 0 (l'element neutre). Aquest nombre -a es denomina element oposat, i és únic per a cada a. No existeix en alguns conjunts com el dels nombres naturals.

Algorisme per sumar dos nombres escrits en base 10

1. Se sumen les xifres de la columna de les unitats. Sumant també la xifra escrita al damunt del primer nombre.
2. La xifra de les unitats del resultat s'escriu davall de la ratlla a la columna de les unitats i la xifra de les desenes del resultat (si és diferent de zero) s'escriu al damunt de la xifra de la següent columna (les desenes, per exemple, si estem sumant les unitats). Taula de sumar.
3. Es repeteixen els passos 1 i 2 amb la columna de les desenes, centenes, unitats de miler i així successivament fins que no quedin columnes amb xifres significatives.
4. En acabar, el nombre que apareix davall de la ratlla és el resultat de la suma.

Taula de sumar nombres d'una sola xifra

En el conjunt dels nombres naturals, la suma de dos nombres es pot interpretar com la solució al problema de: trobar la quantitat d'elements que té el conjunt unió d'altres dos tals que el primer conjunt té una quantitat d'elements igual al primer nombre que es vol sumar i el segon en té una quantitat igual al segon nombre.

Bibliografia

• Akian, Marianne; Bapat, Ravindra; Gaubert, Stephane «Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem». INRIA Reports, 2005. arXiv: math.SP/0402090.
• Apostol, Tom M. Calculus. 1. 2nd. Wiley, 1967. 
• (2001) "".  
• Begle, Edward. The Mathematics of the Elementary School. McGraw-Hill, 1975. ISBN 978-0-07-004325-1. 
• Berg, Lothar. Introduction To The Operational Calculus. 2. North-Holland Publishing, 1967. ISBN 978-0-323-16245-6. 
• Bergman, George. An Invitation to General Algebra and Universal Constructions. 2.3. General Printing, 2005. ISBN 978-0-9655211-4-7. 
• Behr, Merlyn J.; Jungst, Dale G. Fundamentals of Elementary Mathematics. Academic Press, 1971. 
• Bhattacharya, P. B.; Jain, S. K.; Nagpaul, S. R.. Basic Abstract Algebra. 2nd. Cambridge University Press, 1994. 
• Botham, P.E. Bates. The common school arithmetic. Henry Benton, 1837. 
• Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič. «2.4.1.1.». A: Grosche, Günter. Taschenbuch der Mathematik (en alemany). Weiß, Jürgen. 1. 23. Thun and Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch (and B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig), 1987, p. 115–120. ISBN 978-3-87144-492-0. 
• Burrill, Claude. Foundations of Real Numbers. McGraw-Hill, 1967. Plantilla:LCC. 
• Cameron, Scyhrlet; Craig, Carolyn. Adding and Subtracting Fractions, Grades 5–8. Mark Twain Incorporation, 2013. 
• Campbell, Howard E. The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts, 1970. ISBN 978-0-390-16895-5. 
• Cheng, Eugenia. Beyond Infinity: An Expedition to the Outer Limits of Mathematics. Basic Books, 2017. ISBN 978-1-541-64413-7. 
• Crossley, J. N.; Henry, A. S. «Thus spake al-Khwārizmī: A translation of the text of Cambridge University Library Ms. Ii.vi.5.». Historia Mathematica, vol. 17, 1990, p. 103–131. DOI: 10.1016/0315-0860(90)90048-i.
• Department of the Army. Army Technical Manual TM 11-684: Principles and Applications of Mathematics for Communications-Electronics, 1961. 
• Devine, D.; Olson, J.; Olson, M. Elementary Mathematics for Teachers. 2e. Wiley, 1991. ISBN 978-0-471-85947-5. 
• Dummit, D.; Foote, R. Abstract Algebra. 2nd. Wiley, 1999. ISBN 978-0-471-36857-1. 
• Enderton, Herbert. Elements of Set Theory. Academic Press, 1977. ISBN 978-0-12-238440-0. 
• Ferreirós, José. Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Birkhäuser, 1999. ISBN 978-0-8176-5749-9. 
• Fierro, R. Mathematics for Elementary School Teachers. Cengage Learning, 2012. 
• Flynn, M.; Oberman, S. Advanced Computer Arithmetic Design. Wiley, 2001. ISBN 978-0-471-41209-0. 
• Fosnot, Catherine T.; Dolk, Maarten. Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction. Heinemann, 2001. ISBN 978-0-325-00353-5. 
• Gbur, Greg. Mathematical Methods for Optical Physics and Engineering. Cambridge University Press, 2011. ISBN 978-0-511-91510-9. OCLC 704518582. 
• The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press, 2008. ISBN 978-1-4008-3039-8. 
• Gschwind, Hans W.; McCluskey, E. J.. Design of Digital Computers: An Introduction. 2nd. Springer, 1975. 
• Hempel, C. G.. The philosophy of Carl G. Hempel: studies in science, explanation, and rationality. Oxford University Press, 2001. ISBN 978-0-19-534387-8. 
• Isoda, Masami; Olfos, Raimundo; Noine, Takeshi. Teaching Multiplication with Lesson Study: Japanese and Ibero-American Theories for International Mathematics Education, 2021. DOI 10.1007/978-3-030-28561-6. ISBN 978-3-030-28561-6. 
• Johnson, Paul. From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics. Science Research Associates, 1975. ISBN 978-0-574-19115-1. 
• Kaplan, Robert. The Nothing That Is: A Natural History of Zero. Oxford University Press, 2000. ISBN 0-19-512842-7. 
• Karpinski, Louis. The History of Arithmetic. Rand McNally, 1925. 
• Kay, Anthony. Number Systems: A Path into Rigorous Mathematics (en anglès). CRC Press, 2021. ISBN 978-0-429-60776-9. 
• Lee, John. Introduction to Smooth Manifolds. Springer, 2003. ISBN 978-0-387-95448-6. 
• Lewis, Rhys. «Arithmetic». A: First-Year Technician Mathematics. Palgrave, London: Macmillan, 1974, p. 1. DOI 10.1007/978-1-349-02405-6_1. ISBN 978-1-349-02405-6. 
• Li, Y.; Lappan, G. Mathematics curriculum in school education. Springer, 2014. DOI 10.1007/978-94-007-7560-2. ISBN 978-94-007-7560-2. 
• Linderholm, Carl. Mathematics Made Difficult. Wolfe, 1971. ISBN 978-0-7234-0415-6. 
• Idempotent mathematics and interval analysis, 1999. 
• Liu, Feng; Tan, Qingping; Song, Xiaoyu [et al.].. Algorithms and Architectures for Parallel Processing: 10th International Conference, ICA3PP 2010, Busan, Korea, May 21–23, 2010. Proceedings, Vol. 1. Springer, 2010. 
• Loday, Jean-Louis «Arithmetree». Journal of Algebra, vol. 258, 2002, p. 275. arXiv: math/0112034. DOI: 10.1016/S0021-8693(02)00510-0.
• Marguin, Jean. Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642–1942 (en francès). Hermann, 1994. ISBN 978-2-7056-6166-3. 
• Martin, John. Introduction to Languages and the Theory of Computation. 3rd. McGraw-Hill, 2003. ISBN 978-0-07-232200-2. 
• Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton University Press, 2014. DOI 10.2307/j.ctt5hhpnp. ISBN 978-0-691-15463-3. 
• Mikhalkin, Grigory. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM), Madrid, Spain, August 22–30, 2006. Volume II: Invited lectures. Tropical Geometry and its Applications. Zürich: European Mathematical Society, 2006, p. 827–852. ISBN 978-3-03719-022-7. 
• Mosley, F. Using number lines with 5–8 year olds. 4. Nelson Thornes, 2001. ISBN 978-1-874099-95-6. 
• Musser, Gary L.; Peterson, Blake E.; Burger, William F. Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach (en anglès). Wiley, 2013. ISBN 978-1-118-48700-6. 
• National Research Council. Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. National Academy Press, 2001. DOI 10.17226/9822. ISBN 978-0-309-06995-3. 
• Neumann, Peter G. «The Risks Digest Volume 4: Issue 45». The Risks Digest, vol. 4, 45, 02-02-1987.
• Nicholson, W. Keith. Introduction to Abstract Algebra. Wiley, 2012. 
• Omondi, Amos R. Cryptography Arithmetic: Algorithms and Hardware Architectures. 77, 2020 (Advances in Information Security). DOI 10.1007/978-3-030-34142-8. ISBN 978-3-030-34142-8. 
• Özhan, Orhan. Basic Transforms for Electrical Engineering. Springer, 2022. DOI 10.1007/978-3-030-98846-3. ISBN 978-3-030-98846-3. 
• Posamentier, Alfred S.; Farber, William; Germain-Williams, Terri L. [et al.].. 100 Commonly Asked Questions in Math Class. Corwin Press, 2013. ISBN 978-1-4522-4308-5. 
• Pratt, Vaughan. Rohit Parikh on Logic, Language and Society. 11. Springer, 2017 (Outstanding Contributions to Logic). DOI 10.1007/978-3-319-47843-2. ISBN 978-3-319-47843-2. 
• Rieffel, Eleanor G.; Polak, Wolfgang H. Quantum Computing: A Gentle Introduction (en anglès). MIT Press, 4 March 2011. ISBN 978-0-262-01506-6. 
• Riehl, Emily. Category Theory in Context. Dover, 2016. ISBN 978-0-486-80903-8. 
• Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. 3rd. McGraw-Hill, 1976. ISBN 978-0-07-054235-8. 
• Rosen, Kenneth. Discrete Maths and Its Applications Global Edition. McGraw Hill, 2013. ISBN 978-0-07-131501-2. 
• Schindler, Ralf-Dieter. Set theory : exploring independence and truth. Cham: Springer-Verlag, 2014 (Universitext). DOI 10.1007/978-3-319-06725-4. ISBN 978-3-319-06725-4. 
• Schmid, Hermann. Decimal Computation. 1st. Binghamton, NY: Wiley, 1974. ISBN 0-471-76180-X. 
• Schmid, Hermann. Decimal Computation. reprint of 1st. Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Company, 1983. ISBN 978-0-89874-318-0. 
• Schmidt, W.; Houang, R.; Cogan, L. «A coherent curriculum». American Educator, vol. 26, 2, 2002, p. 10–26.
• Schwartzman, Steven. The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. MAA, 1994. ISBN 978-0-88385-511-9. 
• Shmerko, V. P.; Yanushkevich, Svetlana N.; Lyshevski, S. E.. Computer arithmetics for nanoelectronics. CRC Press, 2009. 
• Smith, Frank. The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult. Teachers College Press, 2002. ISBN 978-0-8077-4242-6. 
• Smith, Karl. The Nature of Modern Mathematics. 3rd. Wadsworth, 1980. ISBN 978-0-8185-0352-8. 
• Sparks, F.; Rees, C. A Survey of Basic Mathematics. McGraw-Hill, 1979. ISBN 978-0-07-059902-4. 
• Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 4th. Brooks/Cole, 1999. ISBN 978-0-534-36298-0. 
• Taton, René. Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367 (en francès). Presses universitaires de France, 1963, p. 20–28. 
• Truitt, T.; Rogers, A. Basics of Analog Computers. John F. Rider, 1960. Plantilla:LCC. 
• van de Walle, John. Elementary and Middle School Mathematics: Teaching developmentally. 5e. Pearson, 2004. ISBN 978-0-205-38689-5. 
• Viro, Oleg. Cascuberta, Carles. European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper. 201. Basel: Birkhäuser, 2001, p. 135–146 (Progress in Mathematics). ISBN 978-3-7643-6417-5. 
• Wingard-Nelson, Rebecca. Decimals and Fractions: It's Easy. Enslow Publishers, Inc., 2014. 

Vegeu també

• Ròssec (aritmètica)
• Funció additiva