Conjunt de Vitali

En matemàtiques, i més concretament en teoria de la mesura i teoria de conjunts, el conjunt de Vitali és un conjunt de nombres reals que no és mesurable en el sentit de Lebesgue. Va ser inventat pel matemàtic italià Giuseppe Vitali el 1905 i mostra que el concepte de longitud d'un segment no pot ser definit per a tots els conjunts de nombres reals si es vol respectar les propietats essencials de la longitud. És important remarcar que la construcció d'aquest conjunt depèn de l'axioma d'elecció.

Motivació. El problema de la mesura a la recta real

El problema de la mesura a la recta real va ser formulat per Henri Lebesgue a la seva tesi doctoral el 1902 ^[1] i consisteix en estendre la noció de longitud d'un segment a conjunts més generals de nombres reals respectant les propietats essencials de la longitud, és a dir, que la mesura d'un interval $I = [a, b]$ sigui $b - a$ (l'interval pot ser tancat, obert o semiobert), que la mesura de la unió d'un nombre finit o infinit numerable de conjunts sigui la suma de les mesures dels conjunts components, i finalment, que la mesura sigui invariant per translacions.

Lebesgue va fer aquesta extensió no per a tots els conjunts de nombres reals sinó definint una $σ -$ àlgebra $ℒ \subset 𝒫 (ℝ)$ , on $𝒫 (ℝ)$ és el conjunt de les parts de $ℝ$ , i una mesura $λ : ℒ \to [0, \infty]$ , és a dir, $ℒ$ compleix

El conjunt buit $∅︀$ pertany a $ℒ$ : $∅︀ \in ℒ$
Si $A \in ℒ$ , el seu complementari també: $A^{c} \in ℒ$ .
Si $A_{1}, A_{2}, \dots \in ℒ$ aleshores $⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in ℒ$ .

Al seu torn, $λ$ compleix:

El conjunt buit té mesura zero $λ (∅︀) = 0$ .
És $σ -$ additiva (o numerablement additiva): Si $A_{1}, A_{2}, \dots \in ℒ$ són disjunts dos a dos, $A_{i} \cap A_{j} = ∅︀$ , per a qualsevol parell $i \neq j$ , aleshores $λ (⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} λ (A_{i}) .$

Actualment $ℒ$ és coneguda com la $σ -$ àlgebra de Lebesgue o dels conjunts mesurable-Lebesgue i $λ$ com la mesura de Lebesgue. En aquesta construcció l'eina bàsica és la definició d'una mesura exterior.

A més, es compleixen les següents propietats:

Els intervals són mesurables Lebesgue i la seva mesura coincideix amb la longitud de l'interval: per a qualsevol $a, b \in ℝ, amb a \leq b$ , $[a, b], (a, b], (a, b), ... \in ℒ$ i $λ ([a, b]) = λ ([a, b)) = \dots = b - a .$
La mesura $λ$ és invariant per translacions: Donat qualsevol conjunt Lebesgue mesurable $A \in ℒ$ i qualsevol número $t \in ℝ$ , el conjunt transladat també és Lebesgue mesurable: $t + A = {t + r, r \in ℝ} \in ℒ,$ i el conjunt transladat i el conjunt inicial tenen la mateixa mesura: $λ (t + A) = λ (A) .$

Tal com hem dit, $ℒ \subset 𝒫 (ℝ)$ , i conté pràcticament tots els conjunts que s'utilitzen en Matemàtiques; de fet, $ℒ$ és molt gran i té el mateix cardinal que $𝒫 (ℝ)$ ^[2]. Però el conjunt que va construir Vitali no és de $ℒ$ , i per tant (si s'accepta l'axioma de l'elecció) $ℒ ⊊ 𝒫 (ℝ)$ .

Construcció del conjunt de Vitali i aplicació a la mesura de Lebesgue

El conjunt de Vitali ^[3] es construeix de la següent manera (vegeu Tao ^[4]). Definim una relació a $ℝ$ : per a $x, y \in ℝ$ , direm que $x$ està relacionat amb $y$ si i només si $x - y \in ℚ$ . És una relació d’equivalència i denotem per $x + ℚ = {x + q ∣ q \in ℚ}$ la classe d’equivalència associada a $x$ . Per construcció, cada classe d'equivalència té tants elements com $ℚ$ i per tant és un conjunt infinit numerable. Atès que les classes d'equivalència formen una partició de $ℝ$ , deduïm que hi ha un nombre no numerable de classes d'equivalència, ja que si només n'hi hagués un nombre numerable, degut que la reunió d'un nombre numerable de conjunts numerables és numerable ^[5] obtindríem una contradicció amb el fet que $ℝ$ és no numerable.

Ara, formarem un conjunt agafant un element, i només un, de cada classe d'equivalència; a més, aquests elements els podem agafar a $[0, 1]$ , ja que per a qualsevol $x \in ℝ$ , d'una banda $x - [x] \in [0, 1]$ , i per l'altra $x - [x] \in (x + ℚ)$ , on $[x]$ és la part entera de $x$ . Específicament, per l'axioma de l'elecció, podem construir un conjunt $V \subset [0, 1]$ , que s’anomena conjunt de Vitali, format per un element, i només un, de cada una dels diferents conjunts $(x + ℚ) \cap [0, 1]$ . Sigui ara ${r_{i}, i \in ℕ}$ una enumeració del conjunt $[- 1, 1] \cap ℚ$ ; definim $V_{i} = r_{i} + V, i \in ℕ .$

Com que ${r_{i}, i \in ℕ} \subset [- 1, 1]$ i $V \subset [0, 1]$ , tenim que $V_{i} \subset [- 1, 2], i \in ℕ (1) .$

D’altra banda, si $i \neq j$ , aleshores $V_{i} \cap V_{j} = \emptyset .$ En efecte, si existís $y \in V_{i} \cap V_{j}$ , tindríem $y = r_{i} + v_{i} = r_{j} + v_{j}, per un parell de nombres v_{i}, v_{j} \in V .$ Això implicaria $v_{i} - v_{j} = r_{j} - r_{i} \in ℚ,$ i, per tant, $v_{i}$ i $v_{j}$ pertanyerien a la mateixa classe d’equivalència, cosa que contradiu la definició de $V$ .

Suposem que $V \in ℒ .$ Per provar que això porta a una contradicció, veurem que $[0, 1] \subset ⋃_{i = 1}^{\infty} V_{i} \subset [- 1, 2], (2)$

En primer lloc, de (1) es segueix que $⋃_{i = 1}^{\infty} V_{i} \subset [- 1, 2], (3)$ Ara provarem que $[0, 1] \subset ⋃_{i = 1}^{\infty} V_{i} . (4)$ En efecte, sigui $z \in [0, 1]$ . Com que les classes d'equivalència formen una partició de $ℝ$ , existirà $x_{0} \in ℝ$ tal que $z \in x_{0} + ℚ$ . També, per la construcció del conjunt $V$ , existirà $v \in V$ tal que $v \in x_{0} + ℚ$ . Per tant deduïm que $z - v \in ℚ .$ Com que $z, v \in [0, 1]$ , es té $z - v \in [- 1, 1] \cap ℚ = {r_{i}, i \in ℕ}$ , i per tant, , $z - v = r_{j}$ per a algun $j \in ℕ$ . Així, $z = r_{j} + v \in V_{j}$ , d'on s'obté (4).

De (3) i (4) es dedueix, tal com volíem, $[0, 1] \subset ⋃_{i = 1}^{\infty} V_{i} \subset [- 1, 2], (2)$ i, tal com hem comentat, els conjunts $V_{1}, V_{2}, \dots$ son disjunts dos a dos.

Veiem la contradicció: si suposem $V \in ℒ$ , atès que tots els conjunts $V_{i}$ són translacions de $V$ , tindrem que $V_{i} \in ℒ$ i $λ (V_{i}) = λ (V)$ per a tot $i \in ℕ$ , i per la $σ$ -additivitat de $λ$ en $ℒ$ , tindrem $λ (⋃_{i = 1}^{\infty} V_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} λ (V_{i}) .$ I de (2) deduïm $1 \leq \sum_{i = 1}^{\infty} λ (V_{i}) \leq 3. (5)$ Però les tres possibilitats $λ (V) = 0, λ (V) = a > 0, o λ (V) = \infty$ condueixen a una contradicció amb (5).

Per tant, $V \notin ℒ$ .

Recapitulació i comentaris.

En lloc de suposar que $V \in ℒ$ es pot suposar que $λ$ està definida en tots els conjunts de nombres reals, que és $σ$ -additiva, i que és invariant per translacions. Llavors, el mateix argument que hem fet porta a contradicció independentment de la teoria de Lebesgue i només mostra la incompatibilitat entre la $σ$ -additivitat, la invariància per translacions i que es puguin mesurar tots els subconjunts de $ℝ$ . Vitali acabava el seu article ^[3] dient <<El problema de la mesura de conjunts de nombres reals és impossible>>.
Respecte la teoria de Lebesgue, tal com hem vist, el contraexemple de Vitali implica que la σ-àlgebra de Lebesgue no conté tots els subconjunts de $ℝ$ . Però això no invalida aquesta teoria: amb la mesura de Lebesgue es construeix una teoria de la integració amb propietats molt bones.
Lebesgue (1907) ^[6], i altres matemàtics contemporanis, no va quedar convençut de l'exemple de Vitali, ja que no li agradava que estigués construït gràcies a l'axioma de l'elecció, vegeu Bressoud ^[7].
La dependència de l'axioma de l'elecció va portar a Robert Solovay a demostrar el 1970 que, en absència de l'axioma d'elecció, existeix un model de Zermelo-Fraenkel en el qual tots els subconjunts són Lebesgue-mesurables ^[8]. Vegeu també ^[9].
Gomez ^[10] comenta que existeixen un infinitat no numerable de conjunts de Vitali depenent de la funció d'elecció en l'axioma de l'elecció.
vegeu una altra manera de construir el conjunt de Vitali a Simon ^[11].

Extensió a espais multidimensionals. Els resultats de Banach i Banach-Tarski

La construcció del conjunt de Vitali s'estén de manera directa a $ℝ^{n}$ ^[12] i s'obté la mateixa incompatibilitat entre definir una mesura per a tots els subconjunts de l'espai, $σ$ -additivitat i la invariància respecte a les translacions.

Banach ^[13] va demostrar que es si es renuncia a la $σ$ -additivitat i ens conformem amb l'additivitat finita, a la recta i al pla es pot construir una funció definida per a qualsevol subconjunt de la recta (o de pla) que sigui una extensió de la longitud d'un interval (respectivament, de l'àrea d'un rectangle) invariant per translacions i finitament additiva. Al contrari, per a dimensions més grans o iguals a 3, Banach i Tarski ^[14] van demostrar que no existeix una funció amb totes aquestes propietats: és la famosa paradoxa de Banach-Tarski.

Referències

↑ Lebesgue, 1902.
↑ Schilling, 2017, p. 429.
1 2 Vitali, 1905.
↑ Tao, 2011, p. 44-45.
↑ Schilling, 2027, p. 10.
↑ Lebesgue, 1907.
↑ Bressoud, 2008, p. 151 i ss.
↑ Solovay, 1970.
↑ Holroyd i Soo, 2009, p. 926.
↑ Gomez, 2019, p. 61.
↑ Simon, 2015, p. 210.
↑ Jones, 2002, p. 81.
↑ Banach, 1923.
↑ Banach i Tarski, 194.

Bibliografia

Banach, Stefan. «"Sur le problème de la mesure", Fundamenta Mathematicae 4: p. 7–33, 1923», 1923.
Banach, Stefan; Tarski, Alfred. «"Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes", Fundamenta Mathematicae, Vol 6, p. 244-277, 1924», 1924.
Bressoud, David M. A Radical Approach to Lebesgue's Theory of Integration. Cambridge University Press, 2008.
Gomez, Ignacio S. «A Generalized Vitali Set from Nonextensive Statistics» (en anglès). Reports on Mathematical Physics, Vol. 83, Num. 1, 2019, p. 61-70. DOI: 10.1016/S0034-4877(19)30023-0. ISSN: 0034-4877.
Holroyd, Alexander E.; Soo, Terry «A Nonmeasurable Set from Coin Flips» (en anglès). The American Mathematical Monthly, Vol. 116, Num. 10, 2009, p. 926-928. DOI: 10.4169/000298909X477041. ISSN: 0002-9890.
Jones, Frank. Lebesgue integration on Euclidean space. Rev. ed. Boston London: Jones and Bartlett publ, 2001. ISBN 978-0-7637-1708-7.
Lebesgue, Henri «Intégrale, Longueur, Aire». Annali di Matematica Pura ed Applicata. 7, 1902, p. 231-359. DOI: 10.1007/bf02420592.
Lebesgue, H. «Contribution à l'étude des correspondances de M. Zermelo» (en francès). Bulletin de la Société Mathématique de France, 35, 1907, p. 202–212. DOI: 10.24033/bsmf.807. ISSN: 2102-622X.
Schilling, René L. Measures, integrals and martingales. 2a edició. Cambridge: Cambridge university press, 2017. ISBN 978-1-316-62024-3.
Simon, Barry. Real Analysis (en anglès). American Mathematical Society, 2015. ISBN 978-1-4704-1099-5.
Solovay, Robert M. «A Model of Set-Theory in Which Every Set of Reals is Lebesgue Measurable». Annals of Mathematics, 92, 1, 1970, p. 1–56. DOI: 10.2307/1970696. ISSN: 0003-486X.
Tao, Terence. An introduction to measure theory. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2011. ISBN 978-0-8218-6919-2.
Vitali, Giuseppe. «Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta». Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani, 1905.

Enllaços externs

«Non-Measurable Sets». Bard College. [Consulta: 10 novembre 2019]. (anglès)

[FOOTNOTELebesgue1902-1] Lebesgue, 1902.

[FOOTNOTESchilling2017429-2] Schilling, 2017, p. 429.

[FOOTNOTEVitali1905-3] 1 2 Vitali, 1905.

[FOOTNOTETao201144-45-4] Tao, 2011, p. 44-45.

[FOOTNOTESchilling202710-5] Schilling, 2027, p. 10.

[FOOTNOTELebesgue1907-6] Lebesgue, 1907.

[FOOTNOTEBressoud2008151_i_ss-7] Bressoud, 2008, p. 151 i ss.

[FOOTNOTESolovay1970-8] Solovay, 1970.

[FOOTNOTEHolroydSoo2009926-9] Holroyd i Soo, 2009, p. 926.

[FOOTNOTEGomez201961-10] Gomez, 2019, p. 61.

[FOOTNOTESimon2015210-11] Simon, 2015, p. 210.

[FOOTNOTEJones200281-12] Jones, 2002, p. 81.

[FOOTNOTEBanach1923-13] Banach, 1923.

[FOOTNOTEBanachTarski194-14] Banach i Tarski, 194.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]