Topologia traça

Sigui $(X, 𝒯)$ un espai topològic, i $Y \subset X$ . Es defineix la topologia traça (també topologia de subespai o topologia induïda) sobre $Y$ , com la topologia menys fina que fa contínua a la injecció canònica: $i : Y ⟶ X$ , tal que $i (y) = y, \forall y \in Y$ . Es denota per $𝒯 |_{Y}$ , i es prova que $𝒯 |_{Y} = {Y \cap A : A \in 𝒯}$ . A més a més, si l'aplicació $i : Y ↪ X$ és oberta, es diu que $Y$ és un subespai obert, i que $Y$ és un subespai tancat si $i : Y ↪ X$ és tancada.

Exemples

La topologia traça de $ℕ$ com a subespai de $ℝ$ amb la topologia ordinària és la topologia discreta.

Propietats

Propietats de la topologia traça sobre un subespai $Y \subseteq X$ :^[1]

Un conjunt $U^{'} \subseteq Y$ és obert en la topologia $𝒯 |_{Y}$ si, i només si, existeix un obert $U \in 𝒯$ tal que $U^{'} = Y \cap U$ .
Un conjunt $U^{'} \subseteq Y$ és tancat en la topologia $𝒯 |_{Y}$ si, i només si, existeix un tancat $U$ de $X$ tal que $U^{'} = Y \cap U$ .
Si $B \subseteq Y \subseteq X$ , llavors $𝒯 |_{B} = (𝒯 |_{Y}) |_{B}$ .
Si $Y$ és un subespai obert de $X$ , un conjunt $U^{'} \subseteq Y$ és obert en $Y$ si, i només si, és obert en $X$ .
Si $Y$ és un subespai tancat de $X$ , un conjunt $U^{'} \subseteq Y$ és tancat en $Y$ si, i només si, és tancat en $X$ .

Propietats hereditàries

Una propietat topològica $𝒫$ es diu que és hereditària si els subespais d'un espai topològic que cumpleix $𝒫$ també cumpleixen $𝒫$ .

Exemples de propietats que són hereditàries:^[2]

Els axiomes de separació T₀, T₁ i T₂ (Hausdorff).
El primer i segon axioma de numerabilitat.
Ser metritzable.

La compacitat i la propietat de ser normal són exemples de propietats que no són hereditàries. Els subespais oberts hereden la separabilitat i els subespais tancats hereden la propietat de ser de Lindelöf.

Bibliografia

Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966)
Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6

Enllaços externs

The subspace topology, a Metric and Topological Spaces. (anglès)
Exemples de subespais en Topologia induïda (subespai) (castellà)

Referències

↑ Llopis, José L. «Topologia induïda (subespai)» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 8 octubre 2019].
↑ Llopis, José L. «Propietats topològiques hereditàries» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 10 octubre 2019].

[mtf-1] Llopis, José L. «Topologia induïda (subespai)» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 8 octubre 2019].

[mtf2-2] Llopis, José L. «Propietats topològiques hereditàries» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 10 octubre 2019].

[1]

[2]