Vector euclidià

Un vector euclidià, o simplement vector, en matemàtiques, física i enginyeria, és qualsevol element d'un espai vectorial i, per extensió, d'un mòdul sobre un anell commutatiu unitari.

Cal doncs entendre que un polinomi, una matriu quadrada, una progressió aritmètica, etc. són vectors de la mateixa manera que ho són $x \vec{i} + y \vec{j}$ en el pla i també $x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ en $ℝ^{3}$ ... amb tantes components com dimensions té l'espai vectorial.

Inicialment, el terme de vector era emprat en la geometria euclidiana per a representar el desplaçament entre dos punts i la variació entre les coordenades dels dos punts. Actualment es prefereix el terme de bipunt per referir-se, per exemple a $\vec{A B}$ , reservant el qualificatiu de vector pels vectors lliures, el punt d'aplicació dels quals pot ser qualsevol de l'espai.^[1]

En el pla o en l'espai tridimensional, és un segment orientat, que té una direcció (inclinació del segment respecte als eixos de coordenades), un sentit (de l'origen fins a l'extrem on es col·loca la punta de la fletxa) i un mòdul (llargada del segment, mesurant des de l'origen fins a l'extrem).^[2]

Història

El concepte de vector, tal com es coneix avui dia, és el resultat d'un desenvolupament gradual durant un període de més de 200 anys. Prop d'una dotzena de persones van contribuir significativament al seu desenvolupament. El 1835, Giusto Bellavitis va abstraure la idea bàsica quan va establir el concepte d’equipol·lença. Treballant en un pla euclidià, va fer equipol·lent qualsevol parell de segments de línia paral·lels de la mateixa longitud i orientació. Essencialment, va realitzar una relació d'equivalència en els parells de punts (bipunts) del pla, i així va erigir el primer espai de vectors del pla.^[3] El terme vector va ser introduït per William Rowan Hamilton com a part d'un quaternió, que és una suma $q = s + v$ d'un nombre real $s$ (també anomenat escalar) i un vector tridimensional. Igual que Bellavitis, Hamilton considerava els vectors com a representatius de classes de segments dirigits equipol·lents. Com que els nombres complexos utilitzen una unitat imaginària per complementar la recta real, Hamilton considerava que el vector $v$ era la part imaginària d'un quaternió:

«

La part algebraicament imaginària, que es construeix geomètricament mitjançant una línia recta, o vector de radi, que té, en general, per a cada quaternió determinat, una longitud determinada i una direcció determinada a l'espai, es pot anomenar part vectorial, o simplement vector del quaternió.

»

Diversos altres matemàtics van desenvolupar sistemes vectorials a mitjans del segle xix, com ara Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Möbius, Comte de Saint-Venant i Matthew O'Brien. L'obra de Grassmann de 1840 Theorie der Ebbe und Flut (Teoria del flux i reflux) va ser el primer sistema d'anàlisi espacial similar al sistema actual, i tenia idees corresponents al producte vectorial, el producte escalar i la diferenciació vectorial. L'obra de Grassmann va ser en gran part descuidada fins a la dècada de 1870. Peter Guthrie Tait va portar l'estàndard de quaternions després de Hamilton. El seu Tractat elemental de quaternions de 1867 incloïa un tractament extens de l’operador nabla o del ∇. El 1878, William Kingdon Clifford va publicar Elements of Dynamic. Clifford va simplificar l'estudi dels quaternions aïllant el producte escalar i el producte vectorial de dos vectors del producte quaterniònic complet. Aquest plantejament va posar els càlculs vectorials a l'abast dels enginyers, i d'altres que treballaven en tres dimensions i que es mostraven escèptics respecte a la quarta.

Josiah Willard Gibbs, que va ser exposat als quaternions a través del Tractat sobre electricitat i magnetisme de James Clerk Maxwell, va separar la seva part vectorial per a un tractament independent. La primera meitat d’Elements of Vector Analysis de Gibbs, publicat el 1881, presenta el que és essencialment el sistema modern d'anàlisi vectorial.^[4] El 1901, Edwin Bidwell Wilson va publicar Vector Analysis, adaptat de les conferències de Gibbs, que va desterrar qualsevol menció dels quaternions en el desenvolupament del càlcul vectorial.

Visió general

En física i enginyeria, un vector es considera normalment com una entitat geomètrica caracteritzada per una magnitud i una direcció. Es defineix formalment com un segment de línia dirigit, o fletxa, en un espai euclidià.^[5] En matemàtiques pures, un vector es defineix més generalment com qualsevol element d'un espai vectorial. En aquest context, els vectors són entitats abstractes que poden estar o no caracteritzades per una magnitud i una direcció. Aquesta definició generalitzada implica que les entitats geomètriques esmentades anteriorment són un tipus especial de vectors abstractes, ja que són elements d'un tipus especial d'espai vectorial anomenat espai euclidià. Aquest article en particular tracta sobre vectors definits estrictament com a fletxes en l'espai euclidià. Quan cal distingir aquests vectors especials dels vectors tal com es defineixen en matemàtiques pures, de vegades se'ls anomena vectors geomètrics, espacials o euclidians.

Un vector euclidià pot tenir un punt inicial i un punt terminal definits; aquesta condició es pot emfatitzar anomenant el resultat un vector lligat. ^[6] Quan només importen la magnitud i la direcció del vector, i els punts inicials o terminals particulars no tenen importància, el vector s'anomena vector lliure. La distinció entre vectors lligats i lliures és especialment rellevant en mecànica, on una força aplicada a un cos té un punt de contacte (vegeu força resultant i parell).

Dues fletxes $\overset{⟶}{A B}$ i $\overset{⟶}{A^{'} B^{'}}$ a l'espai representen el mateix vector lliure si tenen la mateixa magnitud i direcció: és a dir, són equipol·lents si el quadrilàter ABB′A′ és un paral·lelogram. Si l'espai euclidià està equipat amb una elecció d’origen, aleshores un vector lliure és equivalent al vector lligat de la mateixa magnitud i direcció, el punt inicial del qual és l'origen.

El terme vector també té generalitzacions a dimensions superiors i a enfocaments més formals amb aplicacions molt més àmplies.

Més informació

En la geometria euclidiana clàssica (és a dir, la geometria sintètica), els vectors es van introduir (durant el segle xix) com a classes d'equivalència sota l'equipol·lència de parells ordenats de punts;^[7] dos parells $(A, B)$ i $(C, D)$ són equipol·lents si els punts $A, B, D, C$ , en aquest ordre, formen un paral·lelogram. Aquesta classe d'equivalència s'anomena vector, més precisament, vector euclidià.^[8] La classe d'equivalència de $(A, B)$ sovint es denota com $\vec{A B} .$

Un vector euclidià és, doncs, una classe d'equivalència de segments dirigits amb la mateixa magnitud (per exemple, la longitud del segment lineal $(A, B)$ ) i la mateixa direcció (per exemple, la direcció d’ $A$ a $B$ ).^[9] En física, els vectors euclidians s'utilitzen per representar quantitats físiques que tenen magnitud i direcció, però no estan situades en un lloc específic, a diferència dels escalars, que no tenen direcció.^[10] Per exemple, la velocitat, les forces i l'acceleració es representen mitjançant vectors.

En geometria moderna, els espais euclidians sovint es defineixen a partir de l'àlgebra lineal. Més precisament, un espai euclidià ${{{1}}}$ es defineix com un conjunt al qual s'associa un espai prehilbertià de dimensió finita sobre els reals $\vec{E},$ i una acció del grup additiu de $\vec{E},$ que és lliure i transitiu (vegeu Espai afí per a més detalls d'aquesta construcció). Els elements de $\vec{E}$ s'anomenen translacions. S'ha demostrat que les dues definicions d'espais euclidians són equivalents, i que les classes d'equivalència sota equipol·lència es poden identificar amb translacions.

De vegades, els vectors euclidians es consideren sense referència a un espai euclidià. En aquest cas, un vector euclidià és un element d'un espai vectorial normat de dimensió finita sobre els reals, o, típicament, un element de l’espai de coordenades reals $ℝ^{n}$ equipat amb el producte escalar. Això té sentit, ja que l'addició en un espai vectorial d'aquest tipus actua lliurement i transitivament sobre el mateix espai vectorial. És a dir, $ℝ^{n}$ és un espai euclidià, amb ell mateix com a espai vectorial associat i el producte escalar com a producte intern.

L'espai euclidià $ℝ^{n}$ sovint es presenta com l'espai euclidià estàndard de dimensió $n$ . Això està motivat pel fet que tot espai euclidià de dimensió $n$ és isomorf a l'espai euclidià $ℝ^{n} .$ Més precisament, donat un espai euclidià d'aquest tipus, es pot triar qualsevol punt $O$ com a origen. Pel procés de Gram-Schmidt, també es pot trobar una base ortonormal de l'espai vectorial associat (una base tal que el producte intern de dos vectors de base és 0 si són diferents i 1 si són iguals). Això defineix les coordenades cartesianes de qualsevol punt $P$ de l'espai, com les coordenades sobre aquesta base del vector $\vec{O P} .$ Aquestes opcions defineixen un isomorfisme de l'espai euclidià donat sobre $ℝ^{n},$ mapejant qualsevol punt a la $n$ -tupla de les seves coordenades cartesianes, i cada vector al seu vector de coordenades.

Exemples en una dimensió

Com que el concepte de força dels físics té una direcció i una magnitud, es pot veure com un vector. Com a exemple, considerem una força cap a la dreta F de 15 newtons. Si l’eix positiu també es dirigeix cap a la dreta, aleshores F es representa pel vector 15 N, i si positiu apunta cap a l'esquerra, aleshores el vector per a F és − 15 N. En qualsevol cas, la magnitud del vector és 15 N. De la mateixa manera, la representació vectorial d'un desplaçament Δs de 4 metres seria 4 m o − 4 m, depenent de la seva direcció, i la seva magnitud seria de 4 m independentment.

En física i enginyeria

Els vectors són fonamentals en les ciències físiques. Es poden utilitzar per representar qualsevol quantitat que tingui magnitud, direcció i que compleixi les regles de la suma vectorial. Un exemple és la velocitat, la magnitud de la qual és la celeritat. Per exemple, la velocitat de 5 metres per segon cap amunt es podria representar mitjançant el vector (0, 5) (en 2 dimensions amb l'eix y positiu com a "cap amunt"). Una altra quantitat representada per un vector és la força, ja que té una magnitud i una direcció i segueix les regles de la suma de vectors.^[10] Els vectors també descriuen moltes altres quantitats físiques, com ara el desplaçament lineal, el desplaçament, l'acceleració lineal, l'acceleració angular, el moment lineal i el moment angular. Altres vectors físics, com ara el camp elèctric i el camp magnètic, es representen com un sistema de vectors en cada punt d'un espai físic; és a dir, un camp vectorial. Exemples de quantitats que tenen magnitud i direcció, però que no segueixen les regles de la suma vectorial, són el desplaçament angular i el corrent elèctric. En conseqüència, aquests no són vectors.

En l'espai cartesià

En el sistema de coordenades cartesianes, un vector lligat es pot representar identificant les coordenades del seu punt inicial i terminal. Per exemple, els punts $A = (1, 0, 0)$ i $B = (0, 1, 0)$ a l'espai determinen el vector lligat $\vec{A B}$ apuntant des del punt $x = 1$ a l'eix x fins al punt $y = 1$ a l'eix y.

En coordenades cartesianes, un vector lliure es pot considerar com un vector lligat corresponent, en aquest sentit, el punt inicial del qual té les coordenades de l'origen $O = (0, 0, 0)$ . Aleshores es determina per les coordenades del punt terminal d'aquest vector enllaçat. Així, el vector lliure representat per (1, 0, 0) és un vector de longitud unitària, que apunta al llarg de la direcció de l'eix x positiu.

Aquesta representació de coordenades dels vectors lliures permet expressar les seves característiques algebraiques de manera numèrica convenient. Per exemple, la suma dels dos vectors (lliures) (1, 2, 3) i (−2, 0, 4) és el vector (lliure) $(1, 2, 3) + (- 2, 0, 4) = (1 - 2, 2 + 0, 3 + 4) = (- 1, 2, 7) .$

Vectors euclidians i afins

En els entorns geomètrics i físics, de vegades és possible associar, de manera natural, una longitud o magnitud i una direcció als vectors. A més, la noció de direcció està estrictament associada a la noció d’angle entre dos vectors. Si es defineix el producte escalar de dos vectors (un producte escalar de dos vectors), també és possible definir una longitud; el producte escalar proporciona una caracterització algebraica convenient tant de l'angle (una funció del producte escalar entre dos vectors diferents de zero) com de la longitud (l'arrel quadrada del producte escalar d'un vector per si mateix). En tres dimensions, és possible definir també el producte vectorial, que proporciona una caracterització algebraica de l’àrea i l'orientació a l'espai del paral·lelogram definit per dos vectors (utilitzats com a costats del paral·lelogram). En qualsevol dimensió (i, en particular, en dimensions superiors), és possible definir el producte exterior, que (entre altres coses) proporciona una caracterització algebraica de l'àrea i l'orientació a l'espai del paral·lelepípede n -dimensional definit per n vectors.

En un espai pseudoeuclidià, la longitud quadrada d'un vector pot ser positiva, negativa o zero. Un exemple important és l'espai de Minkowski (que és important per a la comprensió de la relativitat especial).

Tanmateix, no sempre és possible o desitjable definir la longitud d'un vector. Aquest tipus més general de vector espacial és el tema dels espais vectorials (per a vectors lliures) i els espais afins (per a vectors lligats, ja que cadascun està representat per un parell ordenat de punts). Un exemple físic prové de la termodinàmica, on moltes quantitats d'interès es poden considerar vectors en un espai sense cap noció de longitud o angle.^[11]

Generalitzacions

En física, així com en matemàtiques, un vector sovint s'identifica amb una tupla de components, o llista de nombres, que actuen com a coeficients escalars per a un conjunt de vectors base. Quan la base es transforma, per exemple per rotació o estirament, les components de qualsevol vector en termes d'aquesta base també es transformen en sentit oposat. El vector en si no ha canviat, però la base sí, de manera que els components del vector han de canviar per compensar. El vector s'anomena covariant o contravariant, depenent de com la transformació dels components del vector estigui relacionada amb la transformació de la base. En general, els vectors contravariants són vectors regulars amb unitats de distància (com ara un desplaçament), o distància multiplicada per alguna altra unitat (com ara la velocitat o l'acceleració); els vectors covariants, en canvi, tenen unitats d'un sobre distància com ara el gradient. Si canvieu les unitats (un cas especial de canvi de base) de metres a mil·límetres, un factor d'escala d'1/1000, un desplaçament d'1 m es converteix en 1000 mm: un canvi contravariant en el valor numèric. En canvi, un gradient d'1 K/m es converteix en 0,001 K/mm: un canvi covariant de valor (per a més informació, vegeu covariància i contravariància de vectors). Els tensors són un altre tipus de quantitat que es comporta d'aquesta manera; un vector és un tipus de tensor.

En matemàtiques pures, un vector és qualsevol element d'un espai vectorial sobre algun camp i sovint es representa com un vector de coordenades. Els vectors descrits en aquest article són un cas molt especial d'aquesta definició general, perquè són contravariants respecte a l'espai ambient. La contravariància captura la intuïció física que hi ha darrere de la idea que un vector té magnitud i direcció.

Representació dels vectors

Els vectors se solen representar en negreta (v), mitjançant una fletxa a sobre d'aquest ( $\vec{v}$ ), amb una titlla ( $\tilde{v}$ ) o bé, generalment quan s'escriuen a mà, subratllats (v).^[12]^[13]^[14] També si el context ho fa evident es pot obviar aquesta notació quan s'escriu a mà i escriure'l senzillament amb una sola lletra ( $v$ ). Mentre que en el camp de les matemàtiques se sol optar per aquesta darrera possibilitat, en la física se sol usar l'opció de la fletxa a sobre, però, en general, aquest ús varia en funció de factors diversos. En aquest article s'acostumarà a donar preferència a la primera forma esmentada.

En gràfics i diagrames, els vectors del pla o de l'espai se solen representar com a fletxes, com podeu veure en aquest exemple:

On A és l'origen del bipunt i B el seu extrem; s'escriu $\vec{A B}$ . El vector en canvi no està associat a cap punt.

En diagrames de dues dimensions, sovint es necessita representar vectors perpendiculars al pla del diagrama. En aquests casos, i per diferenciar els dos sentits possibles s'usa una notació de punts o creus. S'utilitza el símbol de la creu (⊗) per a indicar vectors que entren al pla de projecció del diagrama en el sentit contrari a l'observador. Per als vectors que surten del pla de projecció en direcció a l'observador s'utilitza un punt (⊙).

Representació en espais euclidians

En un espai euclidià d'n dimensions, els vectors poden ésser representats com a combinació lineal de n vectors unitaris, sempre que aquests vectors siguin generadors de l'espai. Per exemple, a $ℝ^{3}$ , s'acostumen a anomenar els vectors unitaris paral·lels als eixos x, y i z com a $\vec{i}$ , $\vec{j}$ i $\vec{k}$ respectivament. Qualsevol vector $\vec{a} \in ℝ^{3}$ pot ser escrit com a $\vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$ , on aquests tres nombres reals a₁, a₂ i a₃ deixen unívocament definit el vector.

A vegades i per a simplificar la notació, el vector $\vec{a}$ s'escriu com a $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ - matriu fila - o bé amb la matriu columna: $\vec{a} = [\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}]$

Tot i que aquesta notació no indica la dependència de les coordenades a₁, a₂ i a₃ respecte a l'específic sistema de referència format per $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ .

Representació algebraica

En àlgebra lineal, els vectors s'expressen en forma de matriu columna o vector columna,^[15] emprant negreta per denotar que es tracta d'un vector (en lloc d'un escalar):

$𝒙 = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]$

Per simplificar l'escriptura de vectors columna, a vegades s'escriuen com un vector fila transposat:

𝒙 = {[\begin{matrix} x_{1} x_{2} \dots x_{m} \end{matrix}]}^{T}

o bé,

𝒙 = {[\begin{matrix} x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m} \end{matrix}]}^{T}

Operacions amb vectors a R² i R³

Addició i subtracció de vectors

La suma de vectors es defineix de la manera següent: les components del vector suma són la suma de les components dels sumands. Com que restar és sumar l'oposat, i que l'oposat del vector $\vec{v}$ és el vector que té com a components l'oposat de les components de $\vec{v}$ , la subtracció queda també definida.

En el pla, s'escriu així:

Si

\vec{u}

=

(u_{1}, u_{2})

i

\vec{v}

=

(v_{1}, v_{2})

;

\vec{w}

=

\vec{u}

+

\vec{v}

=

(u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2})

on

\vec{w}

és el vector resultant,

i es representa així:

Propietats de la suma i la subtracció de vectors

Commutativa: $\vec{u_{1}} + \vec{u_{2}} = \vec{u_{2}} + \vec{u_{1}}$
Associativa: $(\vec{u_{1}} + \vec{u_{2}}) + \vec{u_{3}} = \vec{u_{1}} + (\vec{u_{2}} + \vec{u_{3}})$
$\vec{u_{1}} + \vec{0} = \vec{u_{1}}$
$\vec{u_{1}} - \vec{u_{2}} = \vec{u_{1}} + (- \vec{u_{2}})$
$\vec{u_{1}} - \vec{u_{1}} = \vec{0}$

Multiplicació per un escalar

Els vectors es poden multiplicar per un nombre real $k$ , que s'anomena escalar (ja que no és un element de l'espai vectorial). El vector resultant té les components del vector original multiplicades per l'escalar. En el pla:

Si

\vec{v}

=

(v_{1}, v_{2})

, llavors

k \cdot \vec{v}

=

(k \cdot v_{1}, k \cdot v_{2})

Mòdul d'un vector

El mòdul (longitud del segment que va de l'origen a l'extrem en les unitats dels eixos de coordenades) es calcula aplicant el teorema de Pitàgores a les seves components, ja que representen els catets del triangle.

El mòdul d'un vector v s'escriu $‖ \vec{v} ‖$ . En el pla es calcula així:

Si

\vec{v}

=

(v_{1}, v_{2})

;

‖ \vec{v} ‖

=

\sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}

Aquestes operacions es poden generalitzar a un espai n-dimensional.

Referències

↑ «Vector euclidià». Cercaterm. TERMCAT, Centre de Terminologia.
↑ «Vector - Encyclopedia of Mathematics». [Consulta: 26 abril 2022].
↑ Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis; vegeu «lecture notes». Arxivat de l'original el 26 de gener de 2004. [Consulta: 4 setembre 2010]. sobre el tema.
↑ «vector | Definition & Facts» (en anglès). Encyclopedia Britannica. [Consulta: 19 agost 2020].
↑ Itô, 1993, p. 1678.
↑ Lang, 1986, p. 9.
↑ Greenberg, Marvin Jay. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. San Francisco: W.H. Freeman, 1974. ISBN 0-7167-0454-4.
↑ En alguns textos antics, el parell $(A, B)$ s'anomena «vector lligat», i la seva classe d'equivalència s'anomena «vector lliure».
↑ «1.1: Vectors» (en anglès). Mathematics LibreTexts, 07-11-2013. [Consulta: 19 agost 2020].
1 2 «Vectors». www.mathsisfun.com. [Consulta: 19 agost 2020].
↑ «Thermodynamics and Differential Forms». Arxivat de l'original el 2023-11-03. [Consulta: 4 setembre 2010].
↑ «Vectors». [Consulta: 13 maig 2022].
↑ «Vectors - Definition, Properties, Types, Examples, FAQs» (en anglès). [Consulta: 13 maig 2022].
↑ «Vector Definitions». [Consulta: 13 maig 2022].
↑ Poole, David. «Vectors». A: Linear Algebra: A Modern Introduction (en angles). 3a Edició. Cengage – Brooks/Cole, 2010, p. 9-12. ISBN 978-0-538-73545-2.

Vegeu també

[1] «Vector euclidià». Cercaterm. TERMCAT, Centre de Terminologia.

[2] «Vector - Encyclopedia of Mathematics». [Consulta: 26 abril 2022].

[Crowe-3] Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis; vegeu «lecture notes». Arxivat de l'original el 26 de gener de 2004. [Consulta: 4 setembre 2010]. sobre el tema.

[:1-4] «vector | Definition & Facts» (en anglès). Encyclopedia Britannica. [Consulta: 19 agost 2020].

[FOOTNOTEItô19931678-5] Itô, 1993, p. 1678.

[FOOTNOTELang19869-6] Lang, 1986, p. 9.

[7] Greenberg, Marvin Jay. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. San Francisco: W.H. Freeman, 1974. ISBN 0-7167-0454-4.

[8] En alguns textos antics, el parell $(A, B)$ s'anomena «vector lligat», i la seva classe d'equivalència s'anomena «vector lliure».

[1.1:_Vectors-9] «1.1: Vectors» (en anglès). Mathematics LibreTexts, 07-11-2013. [Consulta: 19 agost 2020].

[:2-10] 1 2 «Vectors». www.mathsisfun.com. [Consulta: 19 agost 2020].

[thermo-forms-11] «Thermodynamics and Differential Forms». Arxivat de l'original el 2023-11-03. [Consulta: 4 setembre 2010].

[12] «Vectors». [Consulta: 13 maig 2022].

[13] «Vectors - Definition, Properties, Types, Examples, FAQs» (en anglès). [Consulta: 13 maig 2022].

[14] «Vector Definitions». [Consulta: 13 maig 2022].

[Poole-15] Poole, David. «Vectors». A: Linear Algebra: A Modern Introduction (en angles). 3a Edició. Cengage – Brooks/Cole, 2010, p. 9-12. ISBN 978-0-538-73545-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

Registres d'autoritat	GND (1)
Bases d'informació	Britannica (1) SNL Treccani (1)