Gruppenoperation

In der Mathematik gehört zu einer Gruppenoperation, -aktion oder -wirkung eine Gruppe $(G, *)$ als „aktiver“ Teil und eine Menge $X$ als „passiver“ Teil. Die Operation, Aktion oder Wirkung eines Elements $g \in G$ auf der Menge $X$ ist eine Transformation (bijektive Selbstabbildung) dieser Menge. Dabei operieren die Elemente $g, h \in G$ auf den Elementen der Menge $X$ in der Weise, dass die Aktion des Produkts $g * h$ der Hintereinanderausführung der Einzelaktionen entspricht.

Die operierende Gruppe $G$ wird Transformationsgruppe genannt. Die Menge $X$ zusammen mit der Operation von $G$ auf $X$ heißt $G$ -Menge.

Ist bei der Menge $X$ zusätzliche Struktur von Bedeutung, sei es algebraische, geometrische oder topologische, wird eine Gruppenoperation nur dann als zulässig erachtet, wenn sie diese Struktur bewahrt.

Die Gruppenoperation ermöglicht es in Algebra, Geometrie und vielen anderen Bereichen der Mathematik, die Symmetrien von Objekten mit Hilfe von Symmetriegruppen zu beschreiben. Hier steht die Untersuchung der Menge, auf der die Operation wirkt, im Vordergrund. Andererseits kann die Operation einer vorgegebenen Gruppe auf geeignet gewählten Mengen in der Gruppentheorie wichtige Informationen über die Struktur der operierenden Gruppe liefern. In diesem Fall steht die Untersuchung der operierenden Gruppe im Vordergrund.

Einführendes Beispiel: Würfelgruppe und Raumdiagonalen

$A B C D E F G H$ seien die Ecken eines Würfels in der üblichen Bezeichnung, d. h., $A B C D$ und $E F G H$ sind gegenüberliegende Flächen (siehe erstes Bild). Die Drehung des Würfels um die Achse, die die Mittelpunkte dieser beiden Flächen verbindet (zweites Bild), induziert die folgende Vertauschung der Ecken:

A \mapsto B \mapsto C \mapsto D \mapsto A

und gleichzeitig

E \mapsto F \mapsto G \mapsto H \mapsto E .

Durch die Drehung werden auch (gleichzeitig) die vier Raumdiagonalen vertauscht, nämlich

A G \mapsto B H \mapsto C E \mapsto D F \mapsto A G .

Eine weitere Symmetrieabbildung, die Spiegelung an der Ebene $A B G H$ (viertes Bild), lässt die zwei Raumdiagonalen $A G$ und $B H$ fest und vertauscht die anderen zwei:

C E \mapsto D F

und

D F \mapsto C E .

Es gibt aber auch Symmetrieabbildungen des Würfels, die die Raumdiagonalen nicht untereinander vertauschen, nämlich die Punktspiegelung am Mittelpunkt (drittes Bild): Sie entspricht

A \mapsto G \mapsto A

und gleichzeitig

B \mapsto H \mapsto B

und gleichzeitig

C \mapsto E \mapsto C

und gleichzeitig

D \mapsto F \mapsto D .

Dabei wird jede einzelne Raumdiagonale, wenn auch gespiegelt, so doch auf sich selbst abgebildet.

Man sagt: Die Gruppe der Symmetrieabbildungen des Würfels (genannt die „Würfelgruppe“) operiert auf der Menge der Ecken, auf der Menge der Kanten, auf der Menge der Raumdiagonalen etc. Um diese Gruppe zu erfassen, werde im Folgenden der Fokus auf die Permutationen der Raumdiagonalen gerichtet.

Es gibt zu jedem Paar von Raumdiagonalen eine Ebenenspiegelung (in der Abbildung zum Paar $C E$ und $D F$ ), die diese beiden vertauscht und alle anderen Raumdiagonalen fest lässt, nämlich die Spiegelung an derjenigen Ebene, die die festbleibenden Raumdiagonalen enthält. Eine solche paarige Vertauschung heißt Transposition, und diese Transpositionen erzeugen die ganze symmetrische Gruppe der Permutationen der (vier) Raumdiagonalen. Da es $4! = 24$ dieser Permutationen gibt und genau zwei Symmetrieabbildungen, die alle Raumdiagonalen festlassen (nämlich die Identität und die oben genannte Punktspiegelung), kann man schließen, dass es insgesamt

24 \cdot 2 = 48

Symmetrieabbildungen des Würfels gibt, ohne jede von ihnen einzeln zu kennen. (Für eine genauere Analyse der Gruppenstruktur siehe Oktaedergruppe.)

Definition

(Links-)Aktion

Eine (Links-)Operation, (Links-)Aktion oder (Links-)Wirkung einer Gruppe $(G, *)$ auf einer Menge $X$ ist eine äußere zweistellige Verknüpfung

\begin{matrix} ▹ : G \times X & \to X \\ (g, x) & \mapsto g ▹ x \end{matrix}

mit folgenden Eigenschaften:

$e ▹ x = x$ für alle $x \in X$ , wobei $e$ das neutrale Element von $G$ ist („Identität“),
$(g * h) ▹ x = g ▹ (h ▹ x)$ für alle $g, h \in G, x \in X$ („Verträglichkeit“).

Man sagt dann, $G$ operiert (von links) auf $X$ , und nennt $X$ zusammen mit dieser Gruppenoperation eine (linke) $G$ -Menge.

Aus den beiden Forderungen folgt, dass für jedes $g \in G$ die Transformation $ϑ_{g ▹} : X \to X, x \mapsto g ▹ x,$ eine Bijektion (mit der Umkehrabbildung $ϑ_{g ▹}^{- 1} = ϑ_{g^{- 1} ▹} : X \to X, x \mapsto g^{- 1} ▹ x$ ) auf $X$ ist.

Im Falle endlicher Mengen $X$ spricht man von einer Permutation auf $X$ : Für jedes $g \in G$ liegt $ϑ_{g ▹}$ in der symmetrischen Gruppe $Sym (X)$ . Die Aktionen der Gruppenelemente lassen sich also durch Permutationen auf $X$ „darstellen“.
Bei unendlicher Menge $X$ ist der Begriff der Permutation (für eine bijektive Selbstabbildung auf einer Menge) unüblich. Die Menge $X$ ist im unendlichen Falle in der Regel mit einer (algebraischen, geometrischen oder topologischen) Struktur versehen, und von den Gruppenaktionen $ϑ_{g ▹}$ wird die Verträglichkeit mit diesen Strukturen verlangt („Automorphismen“): Die Aktionen der Gruppenelemente lassen sich dann als gewisse Automorphismen auf dem Objekt $X$ „darstellen“, je nachdem, worum es sich bei $X$ handelt, soll heißen, welcher Kategorie das Objekt $X$ angehört. Auf der Trägermenge $X$ wird ein Hüllensystem induziert (bspw. das Hüllensystem (der Verband) der Zwischenkörper), dessen Hüllenoperator (Hülleneigenschaften) durch die Kategorie, welcher das Objekt $X$ angehört, bestimmt ist und mit dem sich die Gruppenoperation ebenfalls verträgt.
Wenn im Folgenden also von der symmetrischen Gruppe $Sym (X)$ oder von Permutationen die Rede ist, so darf stillschweigend angenommen werden, dass $X$ endlich ist. Gruppenoperationen auf endlichen Mengen lassen sich als Teil der Darstellungstheorie endlicher Gruppen auffassen, vgl. hierzu das Beispiel zur Darstellung durch Permutationsmatrizen.
Doch alle Begrifflichkeiten und Aussagen gelten mutatis mutandis auch für den Fall einer unendlichen Menge $X$ mit einer geeigneten Struktur, wenn anstelle der symmetrischen Gruppe $Sym (X)$ die Automorphismengruppe $Aut (X)$ betrachtet wird und die Gruppenoperation sowie die Gruppenaktionen mit der auf $X$ bzw. $Aut (X)$ vorliegenden Struktur verträglich sind. Beispiele hierfür gibt die allgemeine Darstellungstheorie, doch auch der Abschnitt Beispiele vermittelt hierfür einen ersten Eindruck.

Des Weiteren folgt erneut aus den Operationseigenschaften, dass eine Gruppenoperation von $G$ auf $X$ mit einem Gruppenhomomorphismus $Θ_{▹}$ von $(G, *)$ in die symmetrische Gruppe $(Sym (X), \circ)$ gleichgesetzt werden kann:

\begin{matrix} Θ_{▹} : & (G, *) & ⟶ & (Sym (X), \circ) \\ g & \mapsto & [ϑ_{g ▹} : x \mapsto g ▹ x] \end{matrix}

Dieser Gruppenhomomorphismus heißt eine Permutationsdarstellung der Gruppe, da seine Wirkung auf $X$ durch Permutationen dargestellt wird.

Rechtsaktion

Analog zur Linksoperation ist eine Rechtsoperation, -aktion oder -wirkung eine äußere zweistellige Verknüpfung

◃ : X \times G \to X; (x, g) \mapsto x ◃ g

mit

$x ◃ e = x$ für alle $x \in X$ und das neutrale Element $e$ von $G,$
$x ◃ (g * h) = (x ◃ g) ◃ h$ für alle $g, h \in G, x \in X .$

Der Unterschied zwischen Links- und Rechtsoperationen liegt in der Art und Weise, wie Verknüpfungen $g * h$ auf $X$ operieren. Bei einer Linksoperation operiert zuerst $h$ und dann $g$ , während bei einer Rechtsoperation die Reihenfolge umgekehrt ist.

Aus einer Rechtsoperation lässt sich eine Linksoperation konstruieren, indem man die Operation als Linksoperation der Gegengruppe schreibt, oder auch, indem statt $g$ von links $g^{- 1}$ von rechts operiert. Zu jeder Rechtsoperation $◃$ gibt es eine Linksoperation

▹ : G \times X \to X; (g, x) \mapsto g ▹ x := x ◃ g^{- 1},

denn

e ▹ x = x ◃ e^{- 1} = x ◃ e = x

und

\begin{matrix} (g * h) ▹ x & = x ◃ (g * h)^{- 1} = x ◃ (h^{- 1} * g^{- 1}) \\ = (x ◃ h^{- 1}) ◃ g^{- 1} = (h ▹ x) ◃ g^{- 1} = g ▹ (h ▹ x) . \end{matrix}

Analog lässt sich eine Links- in eine Rechtsoperation umwandeln. Da sich Links- und Rechtsoperation im Wesentlichen nicht unterscheiden, werden ab hier nur noch Linksoperationen betrachtet.

Bei der Betrachtung der Abbildung $Θ_{▹}$ ist allerdings Vorsicht geboten: Bei einer Linksoperation ist sie ein Gruppenhomomorphismus, weil Funktionssymbole üblicherweise auch linksseitig notiert werden: „ $f (x)$ “. Bei $f \circ g$ operiert daher zuerst $g$ und anschließend $f$ . Das entspricht der Reihenfolge bei einer Linksoperation gemäß der Eigenschaft der Verträglichkeit. Operiert die Gruppe aber von rechts, so handelt es sich um einen Antihomomorphismus von Gruppen, es sei denn, man trifft Vorkehrungen, wie oben geschildert, um dies zu verhindern.

Weitere Begriffe

Homomorphismen zwischen G-Mengen

Wenn $Y$ eine weitere Menge mit einer $G$ -Linksoperation $⋆$ ist und $φ : X \to Y$ eine Abbildung, so dass für alle $g \in G$ und für alle $x \in X$ gilt:

φ (g ▹ x) = g ⋆ φ (x),

dann wird $φ$ als G-äquivariant oder auch als Homomorphismus von $G$ -Mengen bezeichnet.

Bahn

Es sei $▹$ die (Links-)Operation einer Gruppe $(G, *)$ auf einer Menge $X .$ Für jedes $x \in X$ nennt man dann

G ▹ x := {g ▹ x ∣ g \in G}

die Bahn, das Transitivitätsgebiet, das Transitivitätssystem oder den Orbit (engl. orbit) von $x .$

Die Bahnen bilden eine Partition von $X .$ Die Anzahl der Elemente einer Bahn (bzw. ihre Mächtigkeit) wird auch die Länge der Bahn genannt. Für ein fest gewähltes $x_{0} \in X$ nennt man die durch

g \mapsto g ▹ x_{0}

gegebene Abbildung $G \to X$ die „Orbitabbildung“.

Die Bahnen sind die Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation der Konjugation (unter der Operation der Gruppe $G$ , scil.):

Elemente

x, y \in X

heißen (unter der Gruppenoperation) konjugiert, (in Zeichen: „

x \sim y

“) genau dann, falls es ein

g \in G

gibt, für das

g ▹ x = y

gilt.^{[Anm 1]}

Offenbar sind zwei Elemente einer Bahn stets konjugiert.

Die Menge $G ∖ X := {G ▹ x ∣ x \in X}$ der Äquivalenzklassen wird Bahnenraum oder Orbitraum genannt und besteht demnach aus den Konjugationsklassen (unter der Gruppenoperation).

Für eine Rechtsoperation $◃$ definiert man analog

x ◃ G := {x ◃ g ∣ g \in G}

und

X / G := {x ◃ G ∣ x \in X} .

Fundamentalbereich

Seien $X$ eine Menge und $G$ eine Transformationsgruppe von $X$ . Für einen Punkt $x \in X$ bezeichne $G ▹ x$ die Bahn von $x$ . Dann heißt die Menge $F \subset X$ ein Fundamentalbereich von $X$ , wenn der Schnitt $G ▹ x \cap F$ für jedes $x \in X$ eine einelementige Menge ist.^[1] Mit anderen Worten enthält ein Fundamentalbereich genau einen Punkt aus jeder Bahn und ist damit dasselbe wie ein Repräsentantensystem der durch die Operation auf der Menge induzierten Äquivalenzrelation.

Beispiel: Das Quadrat $[0, 1) \times [0, 1)$ ist ein Fundamentalbereich von $ℝ^{2}$ bezüglich der Transformationsgruppe $ℤ^{2}$ . Jeder Punkt $(x, y) \in ℝ^{2}$ lässt sich schreiben als $(u + m, v + n)$ mit $(m, n) := (⌊ x ⌋, ⌊ y ⌋) \in ℤ^{2}$ und $(u, v) := (x - m, y - n) \in [0, 1) \times [0, 1)$ .

Transitive und scharf transitive Operationen

Man bezeichnet die Gruppenoperation $▹$ von $G$ auf $X$ als (einfach) transitiv oder sagt „die Gruppe $G$ operiert (einfach) transitiv auf $X$ “, wenn es zu je zwei Elementen $x, y \in X$ ein $g \in G$ gibt, so dass $g ▹ x = y$ gilt. Es genügt sogar, dies nur für ein fest gewähltes $x^{'} \in X$ zu fordern, das heißt: Ist $x \in X$ , so operiert $G$ (einfach) transitiv, wenn es zu jedem $y \in X$ ein $g \in G$ gibt mit $g ▹ x = y$ . („Jedes Element von $X$ ist zu einem fest gewählten konjugiert.“)

Ist ein Gruppenelement $g$ mit $g ▹ x = y$ darüber hinaus durch zwei beliebige Elemente $x, y \in X$ eindeutig bestimmt, so nennt man die Gruppenoperation scharf (einfach) transitiv.

Transitive Gruppenoperationen auf $X$ sind demnach dadurch gekennzeichnet, dass sie nur eine Bahn besitzen, die ganz $X$ umfasst, mit anderen Worten: Je zwei beliebige Elemente aus $X$ sind zueinander konjugiert.

Besitzt sie mehr als nur eine Bahn, so heißt die Gruppenoperation intransitiv.

Gibt es sogar zu jedem Paar $(x_{1}, x_{2}) \in X^{2}$ mit $x_{1} \neq x_{2}$ und jedem Paar $(y_{1}, y_{2}) \in X^{2}$ mit $y_{1} \neq y_{2}$ ein Gruppenelement $g \in G$ , für das $g ▹ x_{1} = y_{1}$ und $g ▹ x_{2} = y_{2}$ ist, dann nennt man die Gruppenoperation zweifach transitiv und scharf zweifach transitiv, wenn es stets genau ein Gruppenelement mit der genannten Eigenschaft gibt.

Allgemein induziert eine Operation $▹$ der Gruppe $G$ auf $X$ für $k \in ℕ ∖ {0}$ eine Operation

▹_{k} : G \times X^{k} \to X^{k}

durch

g ▹_{k} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}) = (g ▹ x_{1}, g ▹ x_{2}, \dots, g ▹ x_{k}) .

Da hierbei stets $x_{i} = x_{j} \Leftrightarrow g ▹ x_{i} = g ▹ x_{j}$ gilt, lässt sich diese Operation auf jene Teilmenge $(X^{k})^{'} \subseteq X^{k}$ beschränken, die nur diejenigen Tupel $(x_{i})_{1 \leq i \leq k}$ mit paarweise verschiedenen Einträgen $x_{i}$ enthält.

Ist $▹_{k} : (X^{k})^{'} \to (X^{k})^{'}$ (scharf) einfach transitiv, dann heißt die Gruppenoperation $▹$ (scharf) $k$ -fach transitiv. Mit anderen Worten: Die Gruppe $G$ operiert via $▹$ genau dann

$k$ -fach transitiv auf $X$ , wenn $▹_{k}$ transitiv operiert,
scharf $k$ -fach transitiv auf $X$ , wenn $▹_{k}$ auf $(X^{k})^{'}$ scharf einfach transitiv operiert, das heißt, wenn es für $t_{1}, t_{2} \in (X^{k})^{'}$ (also für „ $k$ -Tupel ohne Doppelnennung“) stets genau ein Gruppenelement $g \in G$ mit $g ▹_{k} t_{1} = t_{2}$ gibt.

Wichtige Anwendungen haben solche (scharf) transitiven Operationen in der Geometrie, siehe zum Beispiel Affinität (Mathematik), Moufangebene, Affine Translationsebene.

Bei der Anwendung auf Graphen begegnet man, wenn keine Missverständnisse zu befürchten sind, den kurzen Formulierungen „der Graph ist kantentransitiv“ oder „die Gruppe ist kantentransitiv“ (engl. edge-transitive) anstelle der ausführlichen Formulierung „die Symmetriegruppe des Graphen operiert transitiv auf den Kanten“.

Beispiele

Die (Kleinsche) Vierergruppe $V_{1} := {e, (12) (34), (13) (24), (14) (23)}$ operiert (scharf einfach) transitiv auf der Menge $X := {1, 2, 3, 4}$ , da die Ziffer 1 in jede andere übergeführt werden kann. Dies gilt nicht für die Operation der Vierergruppe $V_{2} := {e, (12), (34), (12) (34)}$ auf $X$ . Dabei sind $V_{1}$ und $V_{2}$ zueinander isomorph und zur Diedergruppe der Ordnung vier.
Die Galoisgruppe eines über einem Körper $K$ irreduziblen Polynoms (etwa eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ( $K = ℚ$ )) operiert transitiv auf der Menge der Nullstellen des Polynoms.^[2]^[3] Dieses Beispiel ist Gegenstand des Abschnittes „Automorphismengruppe eines Körpers und einer Galois-Erweiterung“.

Homogene Operationen

Eine Verallgemeinerung der $k$ -fach transitiven Operation ist die $k$ -fach homogene Operation. Eine Gruppe $G$ operiert $k$ -fach homogen auf der Menge $X$ mit $k \in ℕ ∖ {0},$ wenn es für zwei beliebige Teilmengen $U, V \subseteq X$ mit je genau $k$ Elementen stets mindestens ein Gruppenelement $g \in G$ gibt, das $U$ auf $V$ abbildet, also mit $g ▹ U = V .$ Jede $k$ -fach transitive Operation ist auch $k$ -fach homogen. Von der homogenen Operation wird im Unterschied zur transitiven Operation nicht verlangt, dass die $k$ vorgegebenen Urbildelemente in einer bestimmten Reihenfolge auf die vorgegebenen Bildelemente abgebildet werden.

Stabilisator

Für ein $x \in X$ nennt man

G_{x} = {g \in G ∣ g ▹ x = x}

den Stabilisator, die Isotropiegruppe, die Fixgruppe oder die Standuntergruppe von $x . (G_{x}, *)$ ist eine Untergruppe von $(G, *)$ , die auf $G$ operiert. Durch die Operation $▹$ ist dann eine kanonische Bijektion zwischen der Menge der Linksnebenklassen nach dem Stabilisator des Elements $x$ und dessen Bahn gegeben (siehe unten „Bahnensatz“):

G / G_{x} \overset{≅}{\to} G ▹ x, g * G_{x} \mapsto g ▹ x .

Gehören $x$ und $y$ derselben Bahn an ( $x \sim y$ ) so sind die zugehörigen Fixgruppen $G_{x}, G_{y}$ im Sinne der Gruppentheorie zueinander konjugierte Untergruppen,^{[Anm 2]} das heißt, mit einem geeigneten $g \in G$ gilt: $G_{x} = g^{- 1} * G_{y} * g$ . Dazu wähle nämlich $g$ mit $y = g ▹ x$ gemäß Voraussetzung. Kurz: Fixgruppen konjugierter Elemente sind konjugierte Untergruppen.

$G_{x}$ operiert (durch Einschränkung von $▹$ ) auf $X ∖ {x} .$ Ist diese Operation $k$ -fach transitiv und $G_{x} \neq G,$ so ist die Operation von $G$ auf $X$ sogar $(k + 1)$ -fach transitiv.

Ist $Y \subseteq X$ eine Teilmenge und $H \subseteq G$ eine Untergruppe, und gilt

H ▹ Y \subseteq Y

mit

H ▹ Y := {h ▹ y ∣ h \in H, y \in Y},

so sagt man, dass $Y$ stabil oder invariant unter (der Operation von) $H$ ist oder dass $Y$ von $H$ stabilisiert wird. Es gilt dann stets sogar $H ▹ Y = Y .$ Der Stabilisator eines Punktes $x \in X$ ist also die maximale Untergruppe von $G,$ die ${x}$ stabilisiert.

Wenn $Y \supset Y^{'}$ , so ist die maximale Untergruppe von $G$ , die $Y$ stabilisiert, eine Teilmenge der maximalen Untergruppe von $G$ , die $Y^{'}$ stabilisiert.

Fixgruppen von Mengen und ihre Normalisatoren

Für eine (nicht notwendig echte) Teilmenge $Y \subseteq X$ bezeichnet $G_{Y} := {Fix}_{G} (Y) := {g \in G ∣ \forall y \in Y : g ▹ y = y}$ die Menge aller Gruppenelemente, die jeden Punkt $y \in Y$ unverändert lassen.

Die Fixgruppe von einer Menge $Y$ ist in der maximalen die Menge $Y$ stabilisierenden Untergruppe^{[Anm 3]} enthalten, jedoch im Allgemeinen nicht mit ihr identisch, da diese die Punkte aus $Y$ nicht punktweise fixieren muss, sondern permutieren darf.

Für $h \in G$ folgt unmittelbar aus der Definition:

${Fix}_{G} (h ▹ Y) = h * {Fix}_{G} (Y) * h^{- 1}$ .
Ist $Y^{'} := h ▹ Y$ und bezeichnet $U = {g \in G ∣ g ▹ Y = Y}$ die maximale die Menge $Y$ stabilisierende Untergruppe von $G$ sowie $U^{'}$ die Entsprechung für $Y^{'}$ , so gilt $U^{'} = h^{- 1} * U * h$ , denn $g \in U^{'} \Leftrightarrow (g * h) ▹ Y = h ▹ Y \Leftrightarrow h^{- 1} * g * h \in U$ .

Zusammenfassend: Die maximal stabilisierenden Untergruppen (bzw. die Fixgruppen) konjugierter Teilmengen sind unter der Operation der inneren Automorphismen (siehe Beispiel „Operation durch Konjugation“) konjugiert. Insbesondere sind die maximal stabilisierenden Untergruppen (bzw. die Fixgruppen) von Teilmengen $Y$ , die unter der Operation der gesamten Transformationsgruppe stabil (invariant) sind Normalteiler in der Transformationsgruppe.

Auch wenn $Y$ nicht invariant unter der gesamten Transformationsgruppe ist, so folgt aus der Identität ${Fix}_{G} (h ▹ Y) = h * {Fix}_{G} (Y) * h^{- 1}$ für jedes $h \in G$ (und unter Beachtung der Tatsache ${Fix}_{G} (Y) \subseteq U$ ) die Äquivalenz

h \in U \Leftrightarrow h * {Fix}_{G} (Y) * h^{- 1} = {Fix}_{G} (Y)

.

Also stehen die Fixgruppe ${Fix}_{G} (Y)$ und die sie umfassende maximale Untergruppe $U$ , unter deren Operation $Y$ invariant ist, in dem bemerkenswerten Verhältnis:

U = {g \in G ∣ g * {Fix}_{G} (Y) * g^{- 1} = {Fix}_{G} (Y)} = : {Nor}_{G} ({Fix}_{G} (Y))

. Die rechte Menge heißt der Normalisator von

{Fix}_{G} (Y)

in

G

, da sie die maximale Untergruppe von

G

ist, in der

{Fix}_{G} (Y)

als Normalteiler enthalten ist. Diese ist identisch mit der maximalen Untergruppe

{Inv}_{G} (Y)

von

G

, unter deren Operation

Y

invariant (stabil) ist:

{Nor}_{G} ({Fix}_{G} (Y)) = {Inv}_{G} (Y) := {g \in G ∣ g ▹ Y \subseteq Y}

.

Fixpunktmengen

Ein Element $x \in X$ heißt Fixpunkt unter der Operation eines $g \in G$ , wenn $g ▹ x = x$ . Es heißt Fixpunkt unter der Gruppe(noperation einer Untergruppe) $H \subset G$ , wenn es Fixpunkt eines jeden $h \in H$ ist.

Für Fixpunktmengen finden sich in der Literatur folgende Schreibweisen:

die Menge aller Fixpunkte unter $g$ :

X^{g} := {x \in X ∣ x ist Fixpunkt unter g}

die Menge aller Fixpunkte unter einer Untergruppe $H \subset G$ :

X^{H} := {x \in X ∣ h ist Fixpunkt unter der Operation von H}

Erzeugt das Element $h \in G$ die Untergruppe $H$ , so gilt $X^{h} = X^{H}$ .

Selbstverständlich ist die Fixpunktmenge $X^{H}$ stabil unter $H$ , doch ist es im Allgemeinen nicht gleich der maximalen unter $H$ stabilen Teilmenge, denn in dieser müssen die Elemente nicht punktweise fix bleiben, sondern dürfen untereinander permutiert werden.

Es gilt $X^{H} \subset X^{H^{'}}$ , falls $H \supset H^{'}$ , wie leicht zu erkennen.

Des Weiteren gilt offensichtlich ${Fix}_{G} (X^{H}) \supset H$ . Der Übergang von $H \mapsto {Fix}_{G} (X^{H})$ wird gelegentlich als „Abschluss der Untergruppe“ $H$ (im Sinne der Gruppenoperation) bezeichnet.^[4]

Konjugierte Mengen

In Verallgemeinerung des obigen Begriffs der Konjugation nennt man zwei Teilmengen $Y_{1}, Y_{2} \subset X$ (unter der Gruppenoperation) konjugiert, wenn es ein Element $g \in G$ mit der Eigenschaft $g ▹ Y_{1} = Y_{2}$ gibt.

Schränkt man die transitive Operation einer Gruppe $G$ auf einen Normalteiler $N$ ein, so sind deren Bahnen $N ▹ x$ $(x \in X)$ sämtlich unter der Gruppenoperation von $G$ zueinander konjugiert, das heißt: Sind $x, y \in X$ , so gibt es $g \in G$ mit $g ▹ (N ▹ x) = N ▹ y$ . Dazu wähle $g \in G$ mit $g ▹ x = y$ und beachte $g * N = N * g$ gemäß Voraussetzung.^[5]

Auf den Transitivitätsgebieten unter einem Normalteiler operiert die Quotientengruppe $G / N$ wohldefiniert.

Ferner folgt: Ist $X$ endlich, so besitzen die Transitivitätsgebiete unter einem Normalteiler dieselbe Mächtigkeit.

Primitive Gruppenoperationen und Imprimitivitätsgebiete

Für transitive Gruppenoperationen gibt es zwei triviale Partitionierungen $X = ⨄_{i \in I} Y_{i}$ der Menge $X$ in Teilmengen $Y_{i}$ , so dass die Gruppenoperation diese Teilmengen permutiert. Dabei sei $I$ eine nichtleere Indexmenge, die das neutrale Element $e \in G$ enthalte. Das die Teilmengen permutiert werden, bedeutet, dass es zu jedem $g \in G$ ein $i \in I$ gibt mit $g ▹ Y_{e} = Y_{i}$ . Daher lässt sich als Indexmenge eine Teilmenge $I \subseteq G$ (oder eine gleichmächtige Menge) wählen, die (ohne Einschränkung) $e_{G}$ enthalte. Die beiden erwähnten trivialen Partitionierungen sind:

die Partition in einelementige Teilmengen: $X = ⨄_{x \in X} {x}$ (mit $I = X$ und $Y_{x} = {x}$ )^{[Anm 4]} und
die „Partition“ $X = Y$ (mit $I = {e}$ und $Y_{e} = X$ ).

Wenn eine transitiv operierende Gruppe nur diese beiden trivialen Partitionierungen besitzt, so heißt ihre Gruppenoperation primitiv, andernfalls imprimitiv.

Operiert sie imprimitiv, so gibt es demnach Teilmengen $Y_{i} ⫋ X (i \in I \subseteq G)$ , die sämtlich mehr als nur ein Element enthalten und eine Partition von $X$ darstellen. Es lässt sich folgern, dass sie zueinander paarweise konjugiert und infolgedessen gleichmächtig sind.

Die Teilmengen $Y_{i}$ einer nicht-trivialen Partitionierung heißen Imprimitivitätsgebiete.^[6]

Die Eigenschaft, primitiv zu operieren, liegt allein in der Gruppe beschlossen, denn für transitiv operierende Gruppen gilt folgendes

Kriterium für primitive Gruppenoperation

Bezeichnet

G_{x}

die Fixgruppe eines Elementes

x \in X

, so sind äquivalent:

Es gibt eine echte Zwischengruppe $G_{x} ⫋ H ⫋ G$ .
$G$ operiert imprimitiv.

Andernfalls operiert

G

primitiv, das heißt

X

ist eine primitive

G

-Menge.

Zum Beweis:

Ist die Partition gegeben, so liege dabei (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) $x \in Y_{e}$ , und es ist offenbar $H$ gerade die maximale $Y_{e}$ stabilisierende Untergruppe, das heißt: $H = {h \in G ∣ h ▹ Y_{e} \subseteq Y_{e}} = {Inv}_{G} (Y_{e})$ . Damit gilt notwendig $G_{x} ⫋ H ⫋ G$ .
Ist umgekehrt $H$ gegeben so setze man $Y_{e} = H ▹ x$ und folgere ${x} ⫋ Y_{e} ⫋ X$ . Die Partition in Imprimitivitätsgebiete ist gegeben durch

Y_{g} := g ▹ Y_{e} = (g * H) ▹ x

, wobei

g * H

die Linksnebenklassen von

H

durchläuft,

g

selbst also nur ein geeignetes Repräsentantensystem

I \subseteq G

dieser Linksnebenklassen. Insgesamt erhält man die Partition:

X = ⨄_{g * H \in G / H} g ▹ Y_{e} = ⨄_{g \in I} \underset{= Y_{g}}{\underset{⏟}{(g * H) ▹ x}}

.

Umgekehrt gilt also: $G$ operiert genau dann primitiv, wenn die Fixgruppe $G_{x}$ eines Elementes $x \in X$ eine maximale Untergruppe in $G$ ist.

Die Eigenschaft der Primitivität lässt sich mit Hilfe des Begriffs der Kongruenzrelation konziser beschreiben: Eine Äquivalenzrelation „ $\sim$ “ auf der Menge $X$ heiße Kongruenzrelation auf der $G$ -Menge $X$ , wenn sie mit der $G$ -Operation in folgendem Sinne verträglich ist: $x \sim y \Rightarrow g ▹ x \sim g ▹ y$ . Genau dann operiert $G$ auf den Äquivalenzklassen wohldefiniert durch $g ▹ [x]_{\sim} := [g ▹ x]_{\sim}$ („Quotientenbildung nach der Kongruenzrelation“). Die $G$ -Menge $X$ (bzw. die Operation von $G$ auf $X$ ) ist primitiv, wenn sie nur die trivialen Kongruenzrelationen zulässt, nämlich die Identität ( $[x] = {x}$ ) und die Allrelation (Universalrelation) ( $[x] = X$ ).

Freie und treue Operationen

Die Operation heißt frei oder semiregulär, falls jedes Element der Menge nur vom neutralen Element der Gruppe fixiert wird. Das bedeutet, dass sämtliche Stabilisatoren trivial sind, d. h. $G_{x} = {e}$ für alle $x \in X$ , oder – angesichts des Bahnensatzes äquivalent – dass jede Bahn die Länge $(G : 1)$ hat. Die Bahnengleichung für endlicher Menge $X$ lautet dann vereinfacht:

# X = \sum_{x \in R} (G : 1) = # R \cdot (G : 1)

, wobei

R

ein Repräsentantensystem der Äquivalenzklassen von

X

bezeichne.

Die Operation heißt treu bzw. effektiv, falls nur das neutrale Element der Gruppe alle Elemente der Menge zugleich fixiert. Das bedeutet, dass der zugehörige Homomorphismus $Θ_{▹} : G \to Sym (X)$ trivialen Kern hat, also injektiv ist.

Jede freie Gruppenoperation auf einer nichtleeren Menge ist treu.

Operiert eine Gruppe nicht treu, so induziert sie eine treue Operation durch die Faktorgruppe nach dem Kern: $\overline{Θ_{▹}} : G / (\ker Θ_{▹}) \to Sym (X)$ .

Darstellung der Transformationsgruppe durch Permutationen bzw. als Permutationsgruppe

Bei treuer Operation auf einer endlichen Menge $X$ kann die Transformationsgruppe $G$ demnach als Untergruppe der symmetrischen Gruppe $Sym (X)$ aufgefasst werden: Man sagt dann, dass „ $G$ als Permutationsgruppe auf $X$ operiere“ oder dass $Θ_{▹}$ „die Transformationsgruppe als Permutationsgruppe darstelle“, nämlich als die Permutationsgruppe $Θ_{▹} (G)$ . Entsprechend heißt $Θ_{▹}$ eine Permutationsgruppendarstellung von $G$ .

Umgekehrt induziert eine Einbettung $G ↪ Sym (X)$ eine Operation von $G$ auf $X$ .

In der Sprache der Darstellungstheorie, etwa der endlicher oder kompakter Gruppen, ist es üblich, von einer Darstellung nicht a priori die Injektivität zu verlangen: Es genügt, dass sie eine homomorphe Abbildung ist. Wenn sie darüber injektiv ist, so heißt sie eine treue Darstellung. Jede Gruppenoperation (auf einer endlichen Menge) liefert eine Permutationsdarstellung, das heißt eine Darstellung durch Permutationen. Jede treue Permutationsdarstellung ist eine Darstellung als Permutationsgruppe, das heißt eine Permutationsgruppendarstellung, und gibt also eine Interpretation der Transformationsgruppe als eine Gruppe von Permutationen auf einer endlichen Menge. Die Anzahl ihrer Elemente heißt Grad der Darstellung bzw. Operation. Diese Sprechweise befindet sich im Einklang mit den Gepflogenheiten der Darstellungstheorie.^[7]

Äquivalente Permutationsgruppen

Zwei Permutationsgruppen $Π_{1} \subseteq Sym (X_{1}), Π_{2} \subseteq Sym (X_{2})$ heißen äquivalent, wenn sie sich nur in der Benennung ihrer Permutationselemente aus $X_{1}, X_{2}$ unterscheiden, soll heißen, wenn es eine Bijektion $Φ : X_{1} \to X_{2}$ gibt, die folgendermaßen einen Isomorphismus der Permutationsgruppen stiftet:

\begin{matrix} Π_{1} & ⟶ & Π_{2} \\ π & \mapsto & Φ \circ π \circ Φ^{- 1} \end{matrix}

Ist hierbei $X_{1} = X_{2} = X$ , so ist natürlich $Φ \in Sym (X)$ , und die Äquivalenz der Permutationsgruppen bedeutet, dass die beiden Untergruppen $Π_{1}, Π_{2}$ in der Gruppe $Sym (X)$ (im Sinne der Gruppenkonjugation) zueinander konjugiert sind, nämlich durch eben jenes $Φ \in Sym (X)$ : $Π_{2} = Φ \circ Π_{1} \circ Φ^{- 1}$ .

Äquivalente Permutationsdarstellungen

Zwei Permutationsdarstellungen $Θ_{i} : G \to Sym (X_{i}) (i = 1, 2)$ bzw. die durch sie induzierten Operationen $▹_{i} : G \times X_{i} \to X_{i}, g ▹_{i} x_{i} := Θ_{i} (g) (x_{i})$ heißen äquivalent, wenn es eine Bijektion $Φ : X_{1} \to X_{2}$ gibt, welche zugleich ein Homomorphismus (also ein Isomorphismus) zwischen den $G$ -Mengen $X_{1}$ und $X_{2}$ ist, das heißt, welche sich in der folgenden Weise mit den Operationen „ $▹_{1}, ▹_{2}$ “ auf $X_{1}$ bzw. $X_{2}$ verträgt: Für jedes $g \in G, x_{1} \in X_{1}, x_{2} \in X_{2}$ gilt

$Φ (g ▹_{1} x_{1}) = g ▹_{2} Φ (x_{1})$ oder äquivalent
$g ▹_{1} x_{1} = Φ^{- 1} (g ▹_{2} Φ (x_{1}))$ .

Ist dabei $X_{1} = X_{2} = X$ , so bedeutet die Äquivalenz zweier Permutationsdarstellungen $Θ_{1}, Θ_{2} : G \to Sym (X)$ , dass die beiden Untergruppen $Θ_{1} (G)$ und $Θ_{2} (G)$ in der Gruppe $Sym (X)$ (im Sinne der Gruppenkonjugation) zueinander konjugiert sind, nämlich durch eben jenes $Φ \in Sym (X)$ : $\forall g \in G : Θ_{1} (g) = Φ^{- 1} \circ Θ_{2} (g) \circ Φ$ .^[8]

Beispiel: Bezeichnet $φ : g \mapsto h * g * h^{- 1}$ einen inneren Automorphismus auf einer Gruppe $G$ , die vermöge $▹$ auf $X$ operiert, so erhält man durch $g ▹^{φ} x := φ (g) ▹ x = (h * g * h^{- 1}) ▹ x = (Θ_{▹} (h) \circ Θ_{▹} (g) \circ Θ_{▹} (h)^{- 1}) (x)$ eine äquivalente $G$ -Operation.

Eigenschaften

Die Äquivalenzklassen der oben eingeführten Äquivalenzrelation „ $\sim$ “ sind genau die Bahnen oder Konjugationsklassen (unter der Gruppenoperation). Daraus folgt die

Bahnengleichung: Die Mächtigkeit von

X

ist gleich der Summe über die Länge aller Bahnen.

Dabei gilt (mit $G_{x}$ als der Fixgruppe von $x$ ) für jede Bahn (das heißt für jede Äquivalenzklasse) der

Bahnensatz: Für jedes

x \in X

ist die (wohldefinierte!) Abbildung

i : G / G_{x} \to G ▹ x; g * G_{x} \mapsto g ▹ x,

eine Bijektion von der Menge der Linksnebenklassen nach der Fixgruppe von

x

in dessen Konjugationsklasse (Bahn).

Für Rechtsoperationen sind stattdessen die Rechtsnebenklassen zu betrachten.

Wenn $X$ endlich ist und $R \subset X$ ein Repräsentantensystem der Äquivalenzklassen in $X$ bezeichne, dann lässt sich die obige Bahnengleichung folgendermaßen schreiben:

# X = \sum_{x \in R} G ▹ x = \sum_{x \in R} (G : G_{x})

Aus der Bijektion des Bahnensatzes folgt für eine endliche Gruppe $G$ die Bahnformel

| G ▹ x | \cdot | G_{x} | = | G | .

Insbesondere ist die Länge jeder Bahn ein Teiler der Ordnung von $G .$

Beispiele

Permutationsgruppen

Die beiden oben bereits beispielhaft genannten Gruppen

$V_{1} := {e, (12) (34), (13) (24), (14) (23)}$ und
$V_{2} := {e, (12), (34), (12) (34)}$

sind als Gruppen isomorph zu (Kleinschen) Vierergruppe.

Ihre Operation auf der Menge $X := {1, 2, 3, 4}$ sind nicht äquivalent:

V1 operiert (scharf einfach) transitiv, da die Ziffer 1 in jede andere (von genau einem Gruppenelement) überführt werden kann. Darüber hinaus operiert sie imprimitiv, wie die möglichen Partitionen in Imprimitivitätsgebiete (nichttriviale Kongruenzklassen) zeigen:
- Entweder $X := {1, 2} ⊎ {3, 4}$
- oder $X := {1, 3} ⊎ {2, 4}$
- oder $X := {1, 4} ⊎ {2, 3}$ .
$V_{2}$ hingegen operiert nicht transitiv. Die Menge $X$ zerfällt in die Bahnen ${1, 2}$ und ${3, 4}$ .

Beachte hierbei, dass die ursprünglich treue Operation der Kleinschen Vierergruppe $V_{1}$ bei der Reduktion auf die beiden Imprimitivitätsgebiete aus $X / \sim$ ihre Treue verliert.

Äquivalente Permutationsgruppendarstellungen setzen gleiche Transformationsgruppen voraus. Isomorphe Permutationsgruppen können jedoch inäquivalent sein. Im vorliegenden Falle gibt es keine bijektive Selbstabbildung auf $X$ , die zwischen beiden Operationen vermittelt.

Beispielsweise verfügt die alternierende Gruppe $A_{5}$ fünften Grades über transitive primitive Darstellungen fünften, sechsten und zehnten Grades, die natürlich nicht äquivalent sind. Weitere transitive primitive Darstellungen anderer Grade gibt es allerdings nicht.^[9]

Darstellung durch Permutationsmatrizen

Operiert die Gruppe $G$ auf einer Basis $X$ eines endlichdimensionalen Vektorraumes $V$ über dem Körper $K$ und setzt man die Permutationen von $Sym (X)$ linear auf den Vektorraum $V$ fort, so erhält man eine lineare Darstellung der Gruppe $G$ durch Automorphismen auf $V$ , die (bezüglich $X$ ) durch Permutationsmatrizen dargestellt werden und natürlich bijektiv sind: Vgl. auch lineare Permutationsdarstellung.

Operation einer Gruppe auf sich selbst

Operation durch Multiplikation

Das einfachste Beispiel einer Operation ist die Operation einer Gruppe $(G, *)$ auf sich selbst: $*$ ist stets eine Operation auf $G$ , denn $(g * h) * x = g * (h * x)$ und $e * g = g .$

Die Abbildung $Θ : G \to Sym (G)$ ordnet jedem Gruppenelement $g$ die Linkstranslation $ϑ_{g *}$ mit diesem zu. Weil die Operation treu ist, ist $Θ$ ein injektiver Gruppenhomomorphismus, man erhält hieraus den

Satz von Cayley: Jede endliche Gruppe der Ordnung

n

ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe

{Sym}_{n} .

Mit dieser Untergruppe der symmetrischen Gruppe ist also Darstellung der Gruppe als Permutationsgruppe (als Gruppe von Permutationen auf einer symmetrischen Gruppe) gefunden. Im obigen Falle hat die symmetrische Gruppe den Grad $(G : 1)$ . Der nächste Abschnitt zeigt, dass sich diese Anzahl unter günstigen Umständen verringern lässt.

Analoges gilt auch für die Rechtstranslation $ϑ_{* g} .$

Betrachtet man eine Untergruppe $H$ von $G,$ dann operiert auch $H$ auf $G .$ Die Bahn $H * g$ eines Elements $g \in G$ heißt dann auch Rechtsnebenklasse und $g * H$ Linksnebenklasse von $g .$ Man beachte, dass im Allgemeinen nicht $g * H = H * g$ sein muss. Die Mächtigkeit der Menge aller Rechtsnebenklassen bezeichnet man mit

G : H := | H ∖ G | .

Da in einer Gruppe jede Rechtstranslation eine Bijektion ist, gilt $| H * g | = | H |$ für jedes $g \in G .$ Daraus folgt mit der Bahnengleichung der

Satz von Euler-Lagrange: Für jede Untergruppe

H

einer endlichen Gruppe

G

gilt:

| G | = (G : H) \cdot | H | .

Insbesondere ist die Ordnung von

H

ein Teiler der Ordnung von

G .

Man kann zeigen, dass es genauso viele Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen gibt, dass also

G : H = | H ∖ G | = | G / H | .

Eine Untergruppe $H$ von $G$ heißt Normalteiler, wenn $g * H = H * g$ für alle $g \in G$ gilt. Ist $H$ ein Normalteiler von $G,$ dann wird durch

(g_{1} * H) ⊛ (g_{2} * H) := (g_{1} * g_{2}) * H

eine Verknüpfung auf $G / H$ definiert, mit der $(G / H, ⊛)$ eine Gruppe ist, man nennt sie die Faktorgruppe von $(G, *)$ modulo $H .$

Operation auf den Nebenklassen durch Multiplikation

Es sei $H$ eine Untergruppe von $G$ und $G / H$ bezeichne die Menge der Linksnebenklassen $g * H (g \in G)$ . Dann operiert $G$ in naheliegender Weise auf $G / H$ durch $γ ▹ (g * H) := (γ * g) * H$ . Diese Operation ist transitiv. Sie liefert also (gemäß obiger Feststellung, dass jede Gruppenoperation als Operation einer Permutationsgruppe auffassen lässt) einen Gruppenhomomorphismus $Θ_{H} : G \to Sym (G / H), γ \mapsto [g * H \mapsto (γ * g) * H)]$ . Für den Kern des Homomorphismus gilt:

\ker Θ_{H} = {γ \in G ∣ \forall g \in G : γ * g \in g * H} = ⋂_{g \in G} g * H * g^{- 1}

.

Im Falle von $\ker Θ_{H} = {e_{G}}$ liefert die Operation auf den Linksnebenklassen von $H$ bereits eine Darstellung von $G$ als Permutationsgruppe, nämlich als $Θ_{H} (G)$ .^[10]

Im Trivialfall $H = {e_{G}}$ , der oben im Abschnitt „Operation durch Multiplikation“ betrachtet wurde, besitzt $Θ_{e} = Θ_{▹}$ trivialen Kern: Die treue Operation liefert eine Darstellung von $G$ als Permutationsgruppe vom Grad $(G : 1)$ , wie oben im Satz von Cayley erkannt wurde.

Doch eine „größere“ Untergruppe $H$ könnte günstigenfalls (nämlich bei $Θ_{H} = {e}$ ) den Grad der Permutationsgruppe $Θ_{H} (G)$ – das ist die Anzahl der zu permutierenden Objekte – von $(G : 1)$ auf $(G : H)$ reduzieren und trotzdem noch eine Darstellung der Gruppe $G$ als Permutationsgruppe liefern.

Tatsächlich empfiehlt sich hierfür die Fixgruppe $H = G_{x}$ eines Elements $x \in G$ : Der Transitivität wegen sind alle Gruppenelemente zueinander konjugiert, mithin sind ihre Fixgruppen die zu $H$ konjugierten Untergruppen; der Treue wegen ist der Durchschnitt all dieser Fixgruppen trivial, so dass $Θ_{H}$ eine Permutationsgruppendarstellung vom Grade $(G : H)$ ist.

Für konjugierte Untergruppen $H$ und $H^{'} = h^{- 1} * H * h$ (mit einem $h \in G$ ) erhält man freilich zwei verschiedene Permutationsgruppendarstellungen, da die Mengen der Linksnebenklassen $G / H$ und $G / H^{'}$ unterschiedlich sein können. Doch dürfen sie in jedem Falle als äquivalent gelten, denn der innere Automorphismus $ι_{h} : g \mapsto h^{- 1} * g * h$ auf $G$ (mit $ι_{h} (H) = H^{'}$ ) induziert die folgende Bijektion zwischen den beiden Mengen:

\overline{ι_{h}} : G / H \to G / H^{'}, g * H ⟼ h^{- 1} * g * H * h = \underset{ι_{h} (g)}{\underset{⏟}{(h^{- 1} * g * h)}} * \underset{= ι_{h} (H) = H^{'}}{\underset{⏟}{(h^{- 1} * H * h)}} \in G / H^{'}

Diese Bijektion vermittelt zwischen beiden Permutationsdarstellungen $Θ_{H}$ und $Θ_{H^{'}}$ und zeigt, dass sie äquivalent sind, also im Wesentlichen gleich, bis auf das Aussehen der zu permutierenden Objekte und einen inneren Automorphismus der Gruppe $G$ .

Für Rechtsnebenklassen bei Rechtsoperation gelten selbstverständlich analoge Überlegungen.^[11]

Operation durch Konjugation

Eine Gruppe $(G, *)$ operiert auf sich selbst durch die inneren Automorphismen

φ_{g} : G \to G, h \mapsto g * h * g^{- 1}

, wobei

g \in G

.

Man erhält den Gruppenhomomorphismus

φ : G \to Aut (G), g \mapsto φ_{g}

.

Die Menge aller inneren Automorphismen wird mit $Inn (G) := φ (G)$ bezeichnet.

Die zugrunde liegende Gruppenoperation^{[Anm 5]} ist also: $g ▹ h := φ_{g} (h) = g * h * g^{- 1} .$

Tatsächlich wurde diese Operation einer Gruppe auf sich selbst in der klassischen Gruppentheorie als die Konjugation (von Gruppenelementen) bezeichnet. Daher spricht man in der Gruppentheorie üblicherweise von den Konjugationsklassen (anstelle von Bahnen) und des Weiteren vom Zentralisator $Z_{G} (x)$ anstelle des Stabilisators $G_{x}$ . Die Bahnformel lautet

# (G ▹ x) = (G : Z_{G} (x))

, falls beide Seiten endlich sind,

und die Bahnengleichung heißt in diesem Kontext üblicherweise Klassengleichung, setzt eine endliche Operatorgruppe voraus und lautet:

(G : 1) = \sum_{x \in R} G ▹ x = \sum_{x \in R} (G : Z_{G} (x))

, wobei

R \subset G

ein Repräsentantensysteme der Konjugationsklassen bezeichne.

Eine elegante Anwendung der Klassengleichung lieferte Ernst Witt mit seinem kurzen Beweis (1931) des (kleinen) Satzes von Wedderburn (1905): „Endliche Schiefkörper sind kommutativ.“

Automorphismengruppe eines Körpers und einer Galois-Erweiterung

Die Gruppe der Automorphismen $G_{0} := Aut (L)$ eines Körpers $L$ operiert in offensichtlicher Weise auf $L (= X)$ , denn damit ist ja der erforderliche Gruppenhomomorphismus $Θ : G_{0} ↪ Sym (L)$ unmittelbar gegeben. Die Operation ist durch $σ ▹ y = σ (y)$ geben, wobei $σ \in G_{0}$ und $y \in L$ .

Es sei nun $G \subset G_{0}$ eine Untergruppe (bspw. $G = G_{0}$ ) und $K := L^{G} := {y \in L ∣ \forall σ \in G : σ (y) = y}$ der Fixkörper in $L$ unter der Operation von $G$ . Wenn die Erweiterung $L / K$ zudem algebraisch ist, dann ist sie eine Galois-Erweiterung mit der Galois-Gruppe $G = Aut (L / K)$ , und diese Erweiterung ist endlich, sobald $[L : K]$ oder $(G : 1)$ endlich sind. In diesem Falle gilt $[L : K] = (G : 1)$ .

Die Galois-Gruppe $G = Aut (L / K)$ einer Galois-Erweiterung $L / K$ operiert, wie oben gezeigt, auf dem Erweiterungskörper $L$ . Dabei sind die Elemente, die unter der Operation der Galoios-Gruppe konjugiert sind, genau diejenigen, die man kurz als über $K$ konjugiert bezeichnet: Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass sie dasselbe Minimalpolynom über $K$ besitzen. Dessen Nullstellenmenge ist also eine Bahn unter der Operation der Galois-Gruppe und stellt eine Konjugationsklasse über $K$ bzw. unter der Operation der Galois-Gruppe dar. Gerade weil es eine Galois-Erweiterung ist, liegen nämlich alle seine Nullstellen in $L$ (Eigenschaft der Normalität).^{[Anm 6]}^[12]

Ist umgekehrt $Y = {y_{1}, \dots y_{n}}$ eine endliche, unter $G$ stabile Teilmenge von Körperelementen aus $L$ , die also unter der Operation $G$ permutiert werden, so liegen die Koeffizienten $a_{i}$ des Polynoms $f (x) := (X - y_{1}) \dots (X - y_{n}) = : X^{n} + a_{1} X^{n - 1} + \dots a_{n - 1} X + a_{n}$ notwendig in $K$ , und es ist genau dann über $K$ irreduzibel, wenn sämtliche $y_{i}$ untereinander konjugiert sind, das heißt, wenn $G$ transitiv auf $Y$ operiert. Andernfalls besteht $Y$ aus mehr als nur einer Bahn (Konjugationsklasse), zerfällt also in eine Partition $Y = ⨄_{j = 1}^{N} Y_{j}$ disjunkter Bahnen $Y_{j} (j = 1, \dots, N \geq 2)$ und das Polynom $p (X)$ zerfällt in $N$ irreduziblen Faktoren $p_{j} (X) = \prod_{y \in Y_{j}} (X - y)$ .

All dies gilt insbesondere für ein – nach dem Satz vom primitiven Element (Niels Henrik Abel, 1829) existierendes – erzeugendes Element $y_{1} \in L$ einer endlichen Galois-Erweiterung mit $L = K [y_{1}]$ : Seine sämtlichen Konjugierten $y_{1}, \dots, y_{n}$ (wobei $n = [L : K]$ ) sind genau die Nullstellen desselben Minimalpolynoms über $K$ , welches den Grad $n$ besitzt (und das in historischer Sprechweise eine Galois-Resolvente ist), und bilden die Bahn unter der Operation der Galois-Gruppe: $G ▹ y_{i} = {y_{1}, \dots, y_{n}}$ . Ein Automorphismus $σ \in G$ ist daher bereits durch sein Bild $σ (y_{1})$ festgelegt. Dies heißt wiederum, dass die Gruppe $G$ auf ${y_{1}, \dots, y_{n}}$ (also auf der Nullstellenmenge der Galois-Resolvente) scharf einfach transitiv operiert. Die Operation ist also frei, mithin erst recht treu.^{[Anm 7]}

Für einen Zwischenkörper $Z (L \supset Z \supset K)$ definiert man (analog zu obiger Definition):

G (L / Z) := Aut (L / Z) = {σ \in G ∣ Z ist Fixpunktmenge unter σ} = ⋂_{z \in Z} G_{z}

.

Für die Galoiserweiterung $L / K$ und den Verband $ℨ (L / K)$ ihrer Zwischenkörper einerseits sowie für die Galoisgruppe $G = : G (L / K)$ und den Verband $𝔘 (G)$ ihrer Untergruppen andererseits lässt sich unter Verwendung der oben genannten Begrifflichkeiten der Hauptsatz der Galoistheorie formulieren:

Die Abbildungen

Z \mapsto G (L / Z)

und

U \mapsto L^{U}

sind zueinander inverse Anti-Isomorphismen der beiden Verbände

ℨ (L / K)

und

𝔘 (G)

, das heißt, sie sind zueinander inverse Bijektionen, welche die jeweiligen Inklusionen umkehren:

\begin{matrix} 𝔘 (G) & ⟷ & ℨ (L / K) \\ U & ⟼ & L^{U} \\ G (L / Z) & ↢ & Z \end{matrix}

Dass hierbei konjugierte Untergruppen auf konjugierte Fixpunktmengen (konjugierte Zwischenkörper) abgebildet werden, folgt mühelos aus den obigen allgemeinen Überlegungen. Also korrespondieren die in $G$ normalen (das heißt „unter der Konjugation invarianten“) Untergruppen (sprich: die Normalteiler) mit den über $K$ normalen Zwischenkörpern.

Moduln und Vektorräume

Ein $G$ -(Links-)Modul ist eine abelsche Gruppe $(M, +),$ auf der eine Gruppe $(G, *)$ (von links) operiert, derart dass zusätzlich die (Links-)Operation $▹ : G \times M \to M$ linksverträglich mit $+$ ist, d. h., es gelten

g ▹ (x + y) = (g ▹ x) + (g ▹ y)

für alle

g \in G

und alle

x, y \in M

Die Transformationen $ϑ_{g ▹}$ mit $g \in G$ bilden dann in der Gruppe $(Aut (M), \circ)$ der Automorphismen auf $(M, +)$ eine Untergruppe, und diese ist gerade das Bild des Gruppenhomomorphismus $Θ_{▹} : G \to Aut (M); g \mapsto [ϑ_{g ▹} : x \mapsto g ▹ x]$ .

Die Eigenschaft der „Verträglichkeit“ einer Gruppenoperation von links fließt beim Nachweis ein, dass es sich um einen Gruppenhomomorphismus handelt.

Im Falle einer Operation von rechts (also einem $G$ -Rechts-Modul) wäre $Θ_{▹}$ ein „Gruppenantihomomorphismus“ oder aber – was auf dasselbe hinausläuft – erst dann ein Gruppenhomomorphismus, wenn anstelle der Gruppe $G$ ihre Gegengruppe als Definitionsbereich gewählt wird.

Ist insbesondere $⊙$ die skalare Multiplikation eines Vektorraums $(V, \oplus, ⊙)$ über dem Körper $(K, +, \cdot),$ dann operiert die multiplikative Gruppe $(K ∖ {0}, \cdot)$ auf $V$ .

Dies gilt auch für einen Schiefkörper. Doch dabei ist auf die Seitigkeit zu achten: Bei Operation von links erhält man einen Links-Vektorraum, bei Operation von rechts einen Rechts-Vektorraum. Die wichtige Rolle der Seitigkeit wird auch beim Übergang zum Dualraum eines Vektorraums deutlich, denn dabei wechselt die Seitigkeit: Der Dualraum eines Links-Vektorraumes ist ein Rechts-Vektorraum und umgekehrt. Erst der Bidualraum hat die ursprüngliche Seitigkeit – und ist im endlichdimensionalen Falle kanonisch isomorph mit dem Ausgangsvektorraum („Dualitätssatz für Vektorrräume“).^[13]

Kategorien

Ist allgemeiner $X$ ein Objekt einer beliebigen Kategorie, so kann eine strukturverträgliche Operation einer (abstrakten) Gruppe $G$ auf $X$ definiert werden als ein Gruppenhomomorphismus

G \to Aut X,

dabei ist $Aut X$ die Gruppe der Automorphismen von $X$ im kategorientheoretischen Sinne. Die oben genannten Operationen von Gruppen auf Mengen oder abelschen Gruppen sind Spezialfälle.

Siehe auch

G-Raum für stetige Gruppenwirkungen
Lemma von Burnside
Permutationsdarstellung, Permutationsgruppe
Permutationsmatrix
Darstellungstheorie
Darstellungstheorie endlicher Gruppen
Darstellungstheorie kompakter Gruppen

Weblinks

Commons: Group actions – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Gruppenoperation bei MathWorld (englisch)

Anmerkungen

↑ Von Lateinisch coniugare: „(zu einem Paar) verbinden, verknüpfen; verheiraten“: Konjugierte Elemente sind mit Hilfe der Gruppenoperation miteinander verknüpft, nämlich durch die Operation des geeigneten $g$ bzw. $g^{- 1}$ .
↑ Beachte hierzu unter den Beispielen den Abschnitt Operation durch Konjugation.
↑ In der Literatur scheint der Begriff „Stabilisator einer Menge“ nicht üblich zu sein, möglicherweise um Verwechslungen mit der Fixgruppe von vornherein zu vermeiden. Zudem wird sich weiter unten zeigen, dass er mit dem Normalisator der Fixgruppe übereinstimmt, so dass die Einführung einer potenziell verwirrenden Begrifflichkeit verzichtbar ist.
↑ Beachte, dass es der Transitivität wegen eine Bijektion zwischen einer Teilmenge $I \subseteq G$ und $X$ gibt: Zu jedem $x \in X$ gibt es ein $i \in G$ mit $i ▹ x_{0} = x$ .
↑ Man beachte die obige Feststellung, dass eine Gruppenoperation „ $▹$ “ von der Gruppe $(G, *)$ auf der Menge $X$ mit einem Gruppenhomomorphismus $φ_{▹}$ von dieser Gruppe in die symmetrische Gruppe (Permutationsgruppe) $Sym (X)$ von $X$ gleichgesetzt werden kann: $φ_{▹} : G \to Sym (X), g \mapsto [φ_{▹} (g) : x \mapsto g ▹ x]$ . Genau dieser Fall liegt hier vor, indem man $X = G$ und $φ_{▹} (g) = φ_{g}$ setzt. Dabei handelt es sich bei den Permutationen von $X = G$ sogar um Automorphismen.
↑ Die Separabilität der Erweiterung $L / K$ ergibt sich daraus, dass der Grundkörper als ein Fixkörper gewählt wurde.
↑ Diese Formulierung kommt der historischen Perspektive auf die Theorie höherer Gleichungen – auf die ursprüngliche historische Fragestellung der Algebra – nahe, welche schließlich im Satz von Abel-Ruffini (1799, 1824) und in der Galois-Theorie gipfelte: Man betrachtete die Permutationsgruppe der Nullstellenmenge eines Polynoms und nutzte Symmetrien (Stichworte: Lagrange-Resolvente und Hauptsatz über elementarsymmetrische Funktionen). Der moderne Ansatz hingegen stellt die Automorphismengruppe $G$ als Transformationsgruppe auf dem Erweiterungskörper $L$ in den Mittelpunkt der Betrachtungen.

Einzelnachweise

↑ Fundamentalbereich. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
↑ Nieper-Wißkirchen: Galoissche Theorie. Universität Augsburg (2013), Folgerung 4.11, S. 133 (online (Memento vom 15. Juli 2019 im Internet Archive)).
↑ Vgl. auch Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8. Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel VI Körpertheorie, § 39 Einfache Körpererweiterungen, Satz oben (vierter Absatz) auf Seite 117 (in Verbindung mit dem Satz vom primitiven Element für den Zerfällungskörper des gegebenen Polynoms).
↑ Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, Abschnitt II Galoissche Theorie. Reintranszendente Körper, § 11 und 12., S. 37 ff. (132 S.).
↑ Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, Abschnitt I. Gruppentheorie, § 7 Permutationsgruppen, Satz 3, S. 20 oben (132 S.).
↑ Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8. Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel VI Fortsetzung der Gruppentheorie, § 56 Transitivität und Primitivität, Seite 165ff.
↑
Vgl.
- Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, I. Gruppentheorie § 7 Permutationsgruppen., S. 26 (132 S.).
- Bartel Leendert van der Waerden: Algebra II. Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether (= Heidelberger Taschenbücher. Band 23). 5. Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Berlin 1967, ISBN 3-540-03869-8, XIV. Kapitel, § 108 Darstellungen endlicher Gruppen, S. 97 ff. (Originaltitel der ersten Auflage: Moderne Algebra).
- Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups (= Graduate Texts in Mathematics. Band 42). 3. Auflage. Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin 1977 (englisch, 170 S., französisch: Représentations linéaires des groupes finis. Paris 1971.).
↑ Siehe Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, I. Gruppentheorie § 7 Permutationsgruppen., S. 26/27 (Seitenumbruch) (132 S.).
↑ Siehe Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra. Band II (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, Abschnitt I Gruppentheorie, § 9 Die alternierende Gruppe, Satz 5., S. 31 (132 S.).
↑ Siehe Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, I. Gruppentheorie § 7 Permutationsgruppen Satz 4, Seite 26. (132 S.).
↑ Siehe Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, I. Gruppentheorie § 7 Permutationsgruppen., S. 24 ff. (132 S.).
↑ Siegfried Bosch: Algebra. 10. Auflage. Springer, 2023, ISBN 978-3-662-67463-5, Kapitel 4 Galois-Theorie, 4.1 Galois-Erweiterungen, Satz 4, S. 190, doi:10.1007/978-3-662-67464-2 (508 S.).
↑ Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8. Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel IVI Vektorräume und Tensorräume, § 21 Der duale Vektorraum., S. 68 f. (272 S.).

Literatur

Fundamentalbereich. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
Nieper-Wißkirchen: Galoissche Theorie. Universität Augsburg (2013), Folgerung 4.11, S. 133 (online (Memento vom 15. Juli 2019 im Internet Archive))
Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959 (132 S.).
Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8. Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3.
Siegfried Bosch: Algebra. 10. Auflage. Springer, 2023, ISBN 978-3-662-67463-5, Kapitel 4. Galois-Theorie, 4.1 Galois-Erweiterungen, Satz 4, S. 190, doi:10.1007/978-3-662-67464-2 (508 S.).

[1] Von Lateinisch coniugare: „(zu einem Paar) verbinden, verknüpfen; verheiraten“: Konjugierte Elemente sind mit Hilfe der Gruppenoperation miteinander verknüpft, nämlich durch die Operation des geeigneten $g$ bzw. $g^{- 1}$ .

[5] Beachte hierzu unter den Beispielen den Abschnitt Operation durch Konjugation.

[6] In der Literatur scheint der Begriff „Stabilisator einer Menge“ nicht üblich zu sein, möglicherweise um Verwechslungen mit der Fixgruppe von vornherein zu vermeiden. Zudem wird sich weiter unten zeigen, dass er mit dem Normalisator der Fixgruppe übereinstimmt, so dass die Einführung einer potenziell verwirrenden Begrifflichkeit verzichtbar ist.

[9] Beachte, dass es der Transitivität wegen eine Bijektion zwischen einer Teilmenge $I \subseteq G$ und $X$ gibt: Zu jedem $x \in X$ gibt es ein $i \in G$ mit $i ▹ x_{0} = x$ .

[16] Man beachte die obige Feststellung, dass eine Gruppenoperation „ $▹$ “ von der Gruppe $(G, *)$ auf der Menge $X$ mit einem Gruppenhomomorphismus $φ_{▹}$ von dieser Gruppe in die symmetrische Gruppe (Permutationsgruppe) $Sym (X)$ von $X$ gleichgesetzt werden kann: $φ_{▹} : G \to Sym (X), g \mapsto [φ_{▹} (g) : x \mapsto g ▹ x]$ . Genau dieser Fall liegt hier vor, indem man $X = G$ und $φ_{▹} (g) = φ_{g}$ setzt. Dabei handelt es sich bei den Permutationen von $X = G$ sogar um Automorphismen.

[17] Die Separabilität der Erweiterung $L / K$ ergibt sich daraus, dass der Grundkörper als ein Fixkörper gewählt wurde.

[19] Diese Formulierung kommt der historischen Perspektive auf die Theorie höherer Gleichungen – auf die ursprüngliche historische Fragestellung der Algebra – nahe, welche schließlich im Satz von Abel-Ruffini (1799, 1824) und in der Galois-Theorie gipfelte: Man betrachtete die Permutationsgruppe der Nullstellenmenge eines Polynoms und nutzte Symmetrien (Stichworte: Lagrange-Resolvente und Hauptsatz über elementarsymmetrische Funktionen). Der moderne Ansatz hingegen stellt die Automorphismengruppe $G$ als Transformationsgruppe auf dem Erweiterungskörper $L$ in den Mittelpunkt der Betrachtungen.

[2] Fundamentalbereich. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.

[3] Nieper-Wißkirchen: Galoissche Theorie. Universität Augsburg (2013), Folgerung 4.11, S. 133 (online (Memento vom 15. Juli 2019 im Internet Archive)).

[4] Vgl. auch Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8. Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel VI Körpertheorie, § 39 Einfache Körpererweiterungen, Satz oben (vierter Absatz) auf Seite 117 (in Verbindung mit dem Satz vom primitiven Element für den Zerfällungskörper des gegebenen Polynoms).

[7] Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, Abschnitt II Galoissche Theorie. Reintranszendente Körper, § 11 und 12., S. 37 ff. (132 S.).

[8] Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, Abschnitt I. Gruppentheorie, § 7 Permutationsgruppen, Satz 3, S. 20 oben (132 S.).

[10] Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8. Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel VI Fortsetzung der Gruppentheorie, § 56 Transitivität und Primitivität, Seite 165ff.

[11] Vgl.
Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, I. Gruppentheorie § 7 Permutationsgruppen., S. 26 (132 S.).

Bartel Leendert van der Waerden: Algebra II. Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether (= Heidelberger Taschenbücher. Band 23). 5. Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Berlin 1967, ISBN 3-540-03869-8, XIV. Kapitel, § 108 Darstellungen endlicher Gruppen, S. 97 ff. (Originaltitel der ersten Auflage: Moderne Algebra).

Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups (= Graduate Texts in Mathematics. Band 42). 3. Auflage. Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin 1977 (englisch, 170 S., französisch: Représentations linéaires des groupes finis. Paris 1971.).

[mwBqk] Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, I. Gruppentheorie § 7 Permutationsgruppen., S. 26 (132 S.).

[mwBsA] Bartel Leendert van der Waerden: Algebra II. Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether (= Heidelberger Taschenbücher. Band 23). 5. Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Berlin 1967, ISBN 3-540-03869-8, XIV. Kapitel, § 108 Darstellungen endlicher Gruppen, S. 97 ff. (Originaltitel der ersten Auflage: Moderne Algebra).

[mwBuM] Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups (= Graduate Texts in Mathematics. Band 42). 3. Auflage. Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin 1977 (englisch, 170 S., französisch: Représentations linéaires des groupes finis. Paris 1971.).

[12] Siehe Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, I. Gruppentheorie § 7 Permutationsgruppen., S. 26/27 (Seitenumbruch) (132 S.).

[13] Siehe Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra. Band II (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, Abschnitt I Gruppentheorie, § 9 Die alternierende Gruppe, Satz 5., S. 31 (132 S.).

[14] Siehe Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, I. Gruppentheorie § 7 Permutationsgruppen Satz 4, Seite 26. (132 S.).

[15] Siehe Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra (= Sammlung Göschen. Band 933). Walter de Gruyter & Co, Berlin 1959, I. Gruppentheorie § 7 Permutationsgruppen., S. 24 ff. (132 S.).

[18] Siegfried Bosch: Algebra. 10. Auflage. Springer, 2023, ISBN 978-3-662-67463-5, Kapitel 4 Galois-Theorie, 4.1 Galois-Erweiterungen, Satz 4, S. 190, doi:10.1007/978-3-662-67464-2 (508 S.).

[20] Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8. Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel IVI Vektorräume und Tensorräume, § 21 Der duale Vektorraum., S. 68 f. (272 S.).

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