Idelegruppe

Die Idelegruppe und die Idelklassengruppe stellen in der Mathematik zentrale Objekte der Klassenkörpertheorie dar.

In der lokalen Klassenkörpertheorie spielt die multiplikative Gruppe des lokalen Körpers eine wichtige Rolle. In der globalen Klassenkörpertheorie wird diese Rolle von der Idelklassengruppe übernommen, welche der Quotient aus den Einheiten des Adelerings und den Einheiten des Körpers ist. Der Begriff des Idels ist eine Abänderung des Idealbegriffs, wobei beide Begriffe in Beziehung zueinander stehen, siehe dazu den Satz über den Zusammenhang zwischen der Ideal- und der Idelklassengruppe. Der Idelbegriff wurde in 1936 und 1941 von dem französischen Mathematiker Claude Chevalley veröffentlichten Arbeiten unter dem Namen „ideal element“ (abgekürzt: id.el.) eingeführt.

Verallgemeinerungen des Artinschen Reziprozitätsgesetzes führen zur Verbindung von automorphen Darstellungen und Galois-Darstellungen von $K$ (Langlands-Programm). Genauer operiert die absolute Galoisgruppe auf der algebraischen De-Rham-Kohomologie von Shimura-Varietäten mit Werten in der Idelgruppe. Diese Darstellungen sind Hodge-Tate mit Gewichten (1,2).

Die Idelegruppe, speziell die Idelklassengruppe, findet Anwendung in der Klassenkörpertheorie, welche sich mit abelschen Körpererweiterungen von $K$ beschäftigt. Das Produkt der lokalen Reziprozitätskarten in der Klassenkörpertheorie gibt einen Homöomorphismus von der Idelegruppe in die Galoisgruppe der maximalen abelschen Erweiterung über einem algebraischen Zahlkörper. Das Artinsche Reziprozitätsgesetz, welches eine Verallgemeinerung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes von Gauß ist, besagt, dass das Produkt in der multiplikativen Gruppe des Zahlkörpers verschwindet. Daher erhalten wir die globale Reziprozitätskarte der Idelklassengruppe von dem abelschen Teil der absoluten Galoisgruppe der Körpererweiterung.

Notation: Im Folgenden ist $K$ ein globaler Körper. Das bedeutet, dass $K$ entweder ein algebraischer Zahlkörper oder ein algebraischer Funktionenkörper positiver Charakteristik vom Transzendenzgrad 1 ist. Im ersten Fall bedeutet das, dass $K/\mathbb {Q}$ eine endliche Körpererweiterung ist, im zweiten Fall, dass $K/\mathbb {F} _{p^{r}}(t)$ eine endliche Körpererweiterung ist. Im Folgenden bezeichnet $v$ eine Stelle von $K.$ Die triviale Bewertung und der dazu korrespondierende triviale Betrag werden im kompletten Artikel ausgeschlossen. Es wird unterschieden zwischen endlichen (nicht-archimedischen) Stellen, welche als $v<\infty$ oder $v\nmid \infty$ notiert werden und unendlichen (archimedischen) Stellen, welche als $v\mid \infty$ notiert werden. Im Folgenden bezeichne $P_{\infty }$ die endliche Menge der unendlichen Stellen von $K.$ Wir schreiben $P$ für eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von $K,$ welche $P_{\infty }$ enthält. Sei $K_{v}$ die Vervollständigung von $K$ nach einer Stelle $v.$ Bei einer diskreten Bewertung $v$ bezeichne mit ${\mathcal {O}}_{v}$ den zugehörigen diskreten Bewertungsring von $K_{v}$ und mit ${\mathfrak {m}}_{v}$ das maximale Ideal von ${\mathcal {O}}_{v}.$ Ist dieses ein Hauptideal, so schreibe $\pi _{v}$ für ein uniformisierendes Element. Der Leser sei weiterhin auf die eineindeutige Identifikation von Beträgen und Bewertungen eines Körpers hingewiesen bei Fixierung einer geeigneten Konstante $C>1:$ Die Bewertung $v$ wird dem Betrag $|\cdot |_{v}$ zugeordnet, welcher wie folgt definiert wird:

$|x|_{v}:={\begin{cases}C^{-v(x)}&,{\text{ falls }}x\neq 0\\0&,{\text{ falls }}x=0\end{cases}}\quad \forall x\in K.$

Umgekehrt wird dem Betrag $|\cdot |$ die Bewertung $v_{|\cdot |}$ zugeordnet, welche wie folgt definiert ist: $v_{|\cdot |}(x):=-\log _{C}(|x|)$ für alle $x\in K^{\times }.$ Diese Identifikation wird im Artikel laufend verwendet.

Definition der Idelegruppe eines globalen Körpers K

Topologie auf der Einheitengruppe eines topologischen Rings

Sei $R$ ein topologischer Ring. Dann bildet $R^{\times }$ mit der Teilraumtopologie im Allgemeinen keine topologische Gruppe. Wir installieren deshalb auf $R^{\times }$ die folgende, gröbere Topologie, was bedeutet, dass weniger Mengen offen sind: Betrachte die Inklusionsabbildung

${\begin{aligned}\iota :R^{\times }&\rightarrow R\times R,\\x&\mapsto (x,x^{-1}).\end{aligned}}$

Wir installieren auf $R^{\times }$ die Topologie, die von der entsprechenden Teilraumtopologie auf $R\times R$ erzeugt wird. Das heißt, wir installieren auf $\iota (R^{\times })$ die Teilraumtopologie der Produkttopologie. Eine Menge $U\subset R^{\times }$ ist per Definition genau dann offen in der neuen Topologie, wenn $\iota (U)$ in der Teilraumtopologie offen ist. Mit dieser Topologie wird $(R^{\times },\cdot )$ eine topologische Gruppe und die Inklusionsabbildung $R^{\times }\hookrightarrow R$ wird stetig. Es ist die gröbste Topologie, welche aus der Topologie von $R$ entsteht und die $R^{\times }$ zu einer topologischen Gruppe macht.

Beweis: Man nehme den topologischen Ring $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.$ Dann ist die Inversionsabbildung nicht stetig. Dies kann an folgendem Beispiel eingesehen werden: Betrachte die Folge

${\begin{aligned}x_{1}&=(2,1,\dotsc )\\x_{2}&=(1,3,1,\dotsc )\\x_{3}&=(1,1,5,1,\dotsc )\\&\vdots \end{aligned}}$

Diese Folge konvergiert in der $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$-Topologie gegen das Einsadel, denn für eine gegebene Umgebung $U$ der $0$ können wir annehmen, dass $U$ die folgende Form hat:

$U=\prod _{p{\text{ prim }} \atop p\leq N}U_{p}\times \prod _{p{\text{ prim }} \atop p>N}\mathbb {Z} _{p}.$

Weiterhin gilt, dass $(x_{n})_{p}\in \mathbb {Z} _{p}$ für alle $n,p$ und daher $(x_{n})_{p}-1\in \mathbb {Z} _{p}$ für alle $p.$ Es folgt, dass $x_{n}-1\in U$ für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$ groß genug. Das Bild dieser Folge unter der Inversionsabbildung konvergiert nicht mehr in der Teilraumtopologie von $\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }$ (vgl.