Differentialoperator

Ein Differentialoperator ist in der Mathematik eine Funktion, die als Operator einer Funktion eine Funktion zuordnet und die Ableitung nach einer oder mehreren Variablen enthält. Insbesondere verschlechtern Differentialoperatoren die Regularität der Funktion, auf die sie angewendet werden.

Der wohl wichtigste Differentialoperator ist die gewöhnliche Ableitung, d. h. die Abbildung $\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ (gesprochen: „d nach dx“), die einer differenzierbaren Funktion $f$ ihre Ableitung $f^{\prime }$ zuordnet:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}=f'$

Differentialoperatoren lassen sich miteinander verknüpfen. Durch Weglassen der Funktion, auf die sie wirken, erhält man reine Operatorgleichungen.

Es gibt unterschiedliche Definitionen eines Differentialoperators, die alle Spezialfälle oder Verallgemeinerungen voneinander sind. Da die allgemeinste Formulierung entsprechend schwer verständlich ist, werden hier unterschiedliche Definitionen mit unterschiedlicher Allgemeingültigkeit gegeben. So bestehen gewöhnliche Differentialoperatoren aus der Verkettung von ganzen Ableitungen, während in partiellen Differentialoperatoren auch partielle Ableitungen auftauchen.

Soweit nicht anders angegeben, sei in diesem Artikel $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine beschränkte und offene Menge. Außerdem wird mit $C^{k}(M)$ die Menge der $k$-mal stetig differenzierbaren Funktionen $f\colon M\to \mathbb {R}$ und mit $C(M)=C^{0}(M)$ die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet. Insbesondere steht $C^{\infty }(M)$ für den Raum der glatten Funktionen. Die Beschränkung, dass $f$ zwischen reellen Teilmengen abbildet, ist nicht notwendig, wird aber in diesem Artikel meist vorausgesetzt. Sind andere Definitions- und Bildbereiche notwendig oder sinnvoll, so wird dies im Folgenden explizit angegeben.

Dieser Artikel beschränkt sich außerdem weitestgehend auf Differentialoperatoren, die auf den gerade erwähnten Räumen der stetig differenzierbaren Funktionen operieren. Es gibt Abschwächungen der Definitionen. So führte beispielsweise das Studium der Differentialoperatoren zur Definition der schwachen Ableitung und damit zu den Sobolev-Räumen, die eine Verallgemeinerung der Räume der stetig-differenzierbaren Funktionen sind. Dies führte weiter zu dem Gedanken, lineare Differentialoperatoren mit Hilfe der Funktionalanalysis in der Operatortheorie zu untersuchen. Auf diese Aspekte wird jedoch vorerst in diesem Artikel nicht weiter eingegangen. Eine Verallgemeinerung eines Differentialoperators ist der Pseudo-Differentialoperator.

Linearer Differentialoperator erster Ordnung

Definition

Sei $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge. Ein linearer Differentialoperator erster Ordnung ist eine Abbildung

$D\colon C^{1}(M)\to C^{0}(M),$

die durch

$u\mapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}(x)\partial _{x_{i}}u$

dargestellt werden kann, wobei $a_{i}$ eine stetige Funktion ist.

Beispiele

• Das wichtigste Beispiel eines Differentialoperators erster Ordnung ist die gewöhnliche Ableitung

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto f'.$

• Die partielle Ableitung

${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\colon f\mapsto {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$

in $x_{i}$-Richtung ist ein partieller Differentialoperator erster Ordnung.

• Andere Differentialoperatoren dieser Gattung erhält man durch Multiplikation mit einer stetigen Funktion. Sei dazu $a\in C^{0}(M)$ eben so eine stetige Funktion, dann ist der durch

$D=a{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto af'\quad {\text{d. h.}}\quad Df(x)=a(x)f'(x)$

definierte Operator $D$ ebenfalls wieder ein Differentialoperator erster Ordnung.

• Drei weitere Beispiele sind die Operatoren Gradient (grad), Divergenz (div) und Rotation (rot) aus der Vektoranalysis. Sie werden durch das Nabla-Symbol $\nabla$ bezeichnet, das im dreidimensionalen Fall in kartesischen Koordinaten die Gestalt

$\nabla ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\\{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\\{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}.$

hat.

• Die Wirtinger-Ableitungen

${\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y}}\right)$

und

${\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y}}\right)$

sind zwei weitere Beispiele für Differentialoperatoren. Das besondere in diesen Operatoren ist, dass man mit ihnen Funktionen $M\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ auf Holomorphie untersucht, gilt nämlich $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0$ so ist die Funktion $f$ holomorph.

Gewöhnlicher Differentialoperator

Gewöhnliche Differentialoperatoren treten insbesondere im Zusammenhang mit gewöhnlichen Differentialgleichungen auf.

Definition

Analog zur Definition des Differentialoperators erster Ordnung ist ein gewöhnlicher Differentialoperator der Ordnung $k$ eine Abbildung

$D\colon C^{k}(M)\to C^{0}(M),$

die durch

$D(f)(x):=\sum _{i=0}^{k}a_{i}(x)\left({\frac {\mathrm {d} ^{i}f}{\mathrm {d} x^{i}}}(x)\right)^{\beta _{i}}$

gegeben ist. Hier ist $a_{i}$ für alle $i$ wieder eine stetige Funktion. Im Fall $\beta _{i}=1$ für alle $i$ nennt man diesen Operator einen gewöhnlichen, linearen Differentialoperator.

Beispiel

• Die Ableitung $k$-ter Ordnung

${\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\colon f\mapsto f^{(k)}$

ist der einfachste Fall eines gewöhnlichen Differentialoperators. Es handelt sich um den sich aus $a_{i}\equiv 0$ für $i<k,\;a_{k}\equiv 1$ und $\beta _{k}=1$ ergebenden Spezialfall.

Linearer partieller Differentialoperator

Definition

Sei $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge. Ein linearer partieller Differentialoperator der Ordnung $k$ ist ein linearer Operator

$D\colon C^{k}(M)\to C^{0}(M),$

der durch

$D(f)(x):=\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)$

dargestellt werden kann. Wobei $a_{\alpha }$ für alle Multiindizes $\alpha \in \mathbb {N} ^{n}$ eine stetige Funktion ist.

Beispiele

• Der Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten lautet

$\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.$

Dies ist ein elementares Beispiel eines partiellen Differentialoperators. Außerdem ist diese das wichtigste Beispiel eines elliptischen Differentialoperators. Elliptische Differentialoperatoren sind eine besondere Klasse partieller Differentialoperatoren.

• Der der Wärmeleitungs- oder Diffusionsgleichung entsprechende Operator ist

$\Delta -{\frac {\partial }{\partial t}}.$

Dies ist ein Beispiel eines parabolischen Differentialoperators.

• Der D’Alembert-Operator

$\Box \varphi (x,y,z,t)={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}(x,y,z,t)-\Delta _{(x,y,z)}\varphi (x,y,z,t),$

wobei $c$ einer Geschwindigkeit entspricht, ist ein weiterer wichtiger partieller Differentialoperator. Dieser ist ein hyperbolischer Operator und wird bei der Wellengleichung verwendet.

Partieller Differentialoperator

Definition

Ein (nicht linearer) partieller Differentialoperator der Ordnung $k$ ist ebenfalls wieder eine Abbildung

$D\colon C^{k}(M)\to C^{0}(M).$

Diese ist gegeben durch

$D(f)(x):=\sum _{i}\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha i}(x)\left({\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)\right)^{i}.$

Hier sind $a_{\alpha i}$ für alle $\alpha \in \mathbb {N} ^{n}$ und $i$ stetige Funktionen.

Lineare Differentialoperatoren

In den obigen Definitionen wurde schon kurz erwähnt, wann ein gewöhnlicher beziehungsweise ein partieller Differentialoperator linear genannt wird. Der Vollständigkeit halber wird nun die abstrakte Definition eines linearen Differentialoperators genannt. Diese ist analog zur Definition der linearen Abbildung. Alle oben angeführten Beispiele, soweit nichts anderes dabei steht, sind lineare Differentialoperatoren.

Definition

Sei $D$ ein (beliebiger) Differentialoperator. Dieser heißt linear, falls

${D}\,(f+g)=({D}f)+({D}g)$

${D}\,(cf)=c\,({D}f)$

für alle Funktionen $f,g\in C^{1}(M)$ und alle Konstanten $c$ gilt.

Prominentestes Beispiel hierfür ist der Differentialoperator

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto f',$

der einer Funktion $f$ ihre Ableitung zuordnet.

Der Lösungsraum einer linearen Differentialgleichung bildet einen Vektorraum. Nach Fouriertransformation lässt sie sich häufig auf eine algebraische Gleichung und Konzepte der linearen Algebra zurückführen. Nichtlineare Differentialoperatoren sind wesentlich schwieriger zu behandeln.

Algebra der Differentialoperatoren

Mit $\operatorname {Diff} ^{k}(C^{\infty }(M))$ wird die Menge aller linearen Differentialoperatoren der Ordnung $k$ bezeichnet, die auf $C^{\infty }(M)$ operieren. Die Menge

$\operatorname {Diff} (C^{\infty }(M)):=\bigoplus _{k\geq 0}\operatorname {Diff} ^{k}(C^{\infty }(M))$

wird zusammen mit der Hintereinanderschaltung von linearen Differentialoperatoren als Multiplikation

$(\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2})(f)=\mathrm {D} _{1}(\mathrm {D} _{2}(f))$

zu einer $\mathbb {Z} _{+}$-graduierten Algebra. Die Multiplikation ist aber im Allgemeinen nicht kommutativ. Eine Ausnahme sind beispielsweise Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten, bei denen die Kommutativität aus der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen folgt.

Man kann auch formal Potenzreihen mit den Differentialoperatoren $D$ bilden und darüber z. B. Exponentialfunktionen $\exp(D)$. Für das Rechnen mit solchen Exponentialausdrücken von linearen Operatoren gelten die Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln.

Differentialoperator auf einer Mannigfaltigkeit

Da man auf Mannigfaltigkeiten nur die lokalen Koordinatensysteme in Form von Karten und keine global gültigen Koordinatensysteme zur Verfügung hat, muss man auf diesen Differentialoperatoren koordinatenunabhängig definieren. Solche Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten werden auch geometrische Differentialoperatoren genannt.