Ursprungsebene

Eine Ursprungsebene ist in der Mathematik eine Ebene, die den Koordinatenursprung enthält. Wichtige Ursprungsebenen sind die drei Koordinatenebenen in einem kartesischen Koordinatensystem. Ursprungsebenen weisen besonders kompakte Darstellungen als Ebenengleichung auf und zeichnen sich durch vergleichsweise einfache Formeln zur Schnitt- und Abstandsberechnung aus. Die Menge der Vektoren, die in einer Ursprungsebene liegen, bildet einen zweidimensionalen Untervektorraum des dreidimensionalen euklidischen Raums.

Definition

In der analytischen Geometrie wird eine Ebene als Teilmenge der Punkte des dreidimensionalen Raums aufgefasst, wobei jeder Punkt durch seine Koordinaten $(x, y, z)$ dargestellt wird. Eine Ursprungsebene ist nun dadurch ausgezeichnet, dass sie durch den Koordinatenursprung $(0, 0, 0)$ des gewählten kartesischen Koordinatensystems verläuft. In allgemeiner Koordinatenform wird eine Ursprungsebene dann durch die Ebenengleichung

a x + b y + c z = 0

beschrieben, wobei $a, b$ und $c$ reelle Parameter sind, die nicht alle gleich null sein dürfen.

Vektordarstellung

Ursprungsebenen können auch durch Vektorgleichungen dargestellt werden, wobei jeder Punkt der Ebene durch seinen Ortsvektor $\vec{x} \in ℝ^{3}$ dargestellt wird. In Parameterform wird eine Ursprungsebene dann durch die Gleichung

\vec{x} = s \vec{u} + t \vec{v}

mit

s, t \in ℝ

beschrieben, wobei $\vec{u}$ und $\vec{v}$ zwei linear unabhängige Vektoren der Ebene sind. Eine Ursprungsebene besteht damit aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren als Linearkombination zweier gegebener Vektoren geschrieben werden können. In Normalenform wird eine Ursprungsebene durch die Normalengleichung

\vec{n} \cdot \vec{x} = 0

charakterisiert, wobei $\vec{n}$ ein Normalenvektor der Ebene ist und $\vec{n} \cdot \vec{x}$ das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{x}$ darstellt. Eine Ursprungsebene besteht damit aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren senkrecht auf einem gegebenen Vektor stehen.^[1] Ist eine Ursprungsebene in Parameterform gegeben, so kann ein Normalenvektor der Ebene durch das Kreuzprodukt $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ berechnet werden.

Beispiele

Wichtige Beispiele für Ursprungsebenen sind die drei Koordinatenebenen

E_{12} : z = 0

bzw.

\vec{x} = s {\vec{e}}_{1} + t {\vec{e}}_{2}

bzw.

{\vec{e}}_{3} \cdot \vec{x} = 0

E_{13} : y = 0

bzw.

\vec{x} = s {\vec{e}}_{1} + t {\vec{e}}_{3}

bzw.

{\vec{e}}_{2} \cdot \vec{x} = 0

E_{23} : x = 0

bzw.

\vec{x} = s {\vec{e}}_{2} + t {\vec{e}}_{3}

bzw.

{\vec{e}}_{1} \cdot \vec{x} = 0

Hierbei sind ${\vec{e}}_{1} = (1, 0, 0)$ , ${\vec{e}}_{2} = (0, 1, 0)$ und ${\vec{e}}_{3} = (0, 0, 1)$ die drei Einheitsvektoren.

Eigenschaften

Schnitt

Der Schnitt zweier verschiedener Ursprungsebenen ergibt immer eine Ursprungsgerade, das heißt eine Gerade mit der Geradengleichung

\vec{x} = a \vec{u}

mit

a \in ℝ

,

wobei $\vec{u}$ ein Richtungsvektor der Gerade ist. Besitzen die beiden Ursprungsebenen die Normalenvektoren ${\vec{n}}_{1}$ und ${\vec{n}}_{2}$ , dann ergibt sich ein Richtungsvektor der Schnittgerade als das Kreuzprodukt

\vec{u} = {\vec{n}}_{1} \times {\vec{n}}_{2}

der beiden Normalenvektoren. Der Schnitt dreier Ursprungsebenen ergibt genau dann den Koordinatenursprung, wenn ihre Normalenvektoren linear unabhängig sind. Dabei sind drei Vektoren im Raum genau dann linear unabhängig, wenn sie nicht in der gleichen Ursprungsebene liegen.^[2]

Abstand eines Punkts

Der Abstand eines Punkts mit Ortsvektor $\vec{v}$ von einer Ursprungsebene $U$ mit Normalenvektor $\vec{n}$ beträgt

d (\vec{v}, U) = \frac{| \vec{v} \cdot \vec{n} |}{‖ \vec{n} ‖}

,

wobei $‖ \vec{n} ‖$ die Länge (euklidische Norm) von $\vec{n}$ ist. Dieser Abstand entspricht gerade der Länge der Lotstrecke zwischen dem Punkt und der Ebene. Der Ortsvektor des Lotfußpunkts $\vec{p}$ ist dann die Orthogonalprojektion von $\vec{v}$ auf die Ursprungsebene und somit durch

\vec{p} = \vec{v} - \frac{\vec{v} \cdot \vec{n}}{\vec{n} \cdot \vec{n}} \vec{n}

gegeben.

Spiegelung eines Punkts

Man erhält die Spiegelung eines Punkts mit Ortsvektor $\vec{v}$ an einer Ursprungsebene, indem man den Lotvektor $\vec{p} - \vec{v}$ von dem Punkt auf die Ebene verdoppelt. Der bezüglich einer Ursprungsebene gespiegelte Vektor $\vec{w}$ eines Vektors $\vec{v}$ ist damit durch

\vec{w} = \vec{v} + 2 (\vec{p} - \vec{v}) = \vec{v} - 2 \frac{\vec{v} \cdot \vec{n}}{\vec{n} \cdot \vec{n}} \vec{n}

gegeben, wobei $\vec{n}$ wieder ein Normalenvektor der Ebene ist.

Vektorraumstruktur

Die Menge der Vektoren des dreidimensionalen Raums bildet einen Vektorraum, den euklidischen Raum. Die Menge der Vektoren, die in einer Ursprungsebene liegen, bildet dabei einen Untervektorraum des euklidischen Raums

U = {\vec{x} \in ℝ^{3} ∣ \vec{x} = s \vec{u} + t \vec{v} für s, t \in ℝ} = {\vec{x} \in ℝ^{3} ∣ \vec{n} \cdot \vec{x} = 0}

.

Dieser Untervektorraum ist gerade die lineare Hülle der beiden die Ursprungsebene aufspannenden Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ , beziehungsweise der Orthogonalraum der linearen Hülle eines Normalenvektors $\vec{n}$ der Ebene. Die Ursprungsebenen sind dabei die einzigen zweidimensionalen Untervektorräume des euklidischen Raums.^[3]

Zu jeder Ebene $E$ , die nicht den Ursprung enthält, existiert genau eine parallele Ursprungsebene $U$ . Jede Ebene $E$ kann damit als affiner Unterraum des euklidischen Raums der Form

E = \vec{z} + U = {\vec{z} + \vec{x} ∣ \vec{x} \in U}

dargestellt werden, wobei $\vec{z}$ der Ortsvektor eines Punkts von $E$ ist.

Verallgemeinerungen

Allgemeiner können Ebenen auch in höherdimensionalen Räumen betrachtet werden. Eine Ursprungsebene ist dann ein zweidimensionaler Untervektorraum des $ℝ^{n}$ . In Parameterform ist eine solche Ursprungsebene wie in drei Dimensionen durch

\vec{x} = s \vec{u} + t \vec{v}

mit

s, t \in ℝ

gegeben, wobei $\vec{u}, \vec{v} \in ℝ^{n}$ zwei linear unabhängige Vektoren sind. Die entsprechende Normalenform

\vec{n} \cdot \vec{x} = 0

mit $\vec{n} \in ℝ^{n}$ definiert allerdings für $n > 3$ keine Ebene mehr, sondern eine Hyperebene der Dimension $n - 1$ , die den Ursprung enthält.

Siehe auch

Literatur

Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson: Angewandte Mathematik: Body and Soul 1. Springer, 2006, ISBN 3-540-35006-3.
Mike Scherfner, Torsten Volland: Mathematik für das erste Semester. Springer, 2012, ISBN 3-8274-2505-0.

Einzelnachweise

↑ Eriksson, Estep, Johnson: Angewandte Mathematik: Body and Soul 1. Springer, 2006, S. 351.
↑ Scherfner, Volland: Mathematik für das erste Semester. Springer, 2012, S. 247.
↑ Eriksson, Estep, Johnson: Angewandte Mathematik: Body and Soul 1. Springer, 2006, S. 357.

[1] Eriksson, Estep, Johnson: Angewandte Mathematik: Body and Soul 1. Springer, 2006, S. 351.

[2] Scherfner, Volland: Mathematik für das erste Semester. Springer, 2012, S. 247.

[3] Eriksson, Estep, Johnson: Angewandte Mathematik: Body and Soul 1. Springer, 2006, S. 357.

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