Distributividade

En matemáticas, e concretamente en álxebra abstracta, a distributividade é a propiedade dos operadores binarios que xeneraliza a propiedade distributiva da álxebra elemental.

A propiedade distributiva da multiplicación sobre a suma en álxebra elemental é aquela pola que a suma de dous sumandos, multiplicada por un número, é igual á suma do produto de cada sumando por ese número. En termos alxébricos:

(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a

Exemplo: 3(5 + 4) = 3(9) = 27

(3 × 5) + (3 × 4) = 15 + 12 = 27

Esta propiedade, particularizada para a suma e o produto, pódese xeneralizar a calquera outro par de operacións aritméticas, obtendo deste xeito a definición de distributividade.

Definición

Sexa $A$ un conxunto dado no que se definiron dúas operacións binarias ( $\circ$ ; $⋆$ ). Entón:

A operación $\circ$ é distributiva pola esquerda respecto da operación $⋆$ se se cumpre que dados tres elementos calquera a, b, c $\in$ A, entón

a \circ (b ⋆ c) = (a \circ b) ⋆ (a \circ c)

A operación $\circ$ é distributiva pola dereita respecto da operación $⋆$ se se cumpre que dados tres elementos calquera a, b, c $\in$ A, entón

(b ⋆ c) \circ a = (b \circ a) ⋆ (c \circ a)

A operación $\circ$ é distributiva respecto da operación $⋆$ se é distributiva pola dereita e distributiva pola esquerda, é dicir, se se cumpre que dados tres elementos calquera a, b, c $\in$ A, entón

a \circ (b ⋆ c) = (a \circ b) ⋆ (a \circ c)

e

(b ⋆ c) \circ a = (b \circ a) ⋆ (c \circ a)

Débese notar se a operación $\circ$ cumpre a propiedade conmutativa, entón as tres condicións son equivalentes e chega que se cumpra unha calquera delas para que as outras dúas tamén se cumpran automaticamente.

Véxase tamén

Outros artigos

Ligazóns externas

Operaciones binarias Artigo sobre operacións binarias e as súas propiedades. (en castelán)