ルモワーヌ六角形

ルモワーヌ六角形^[1]（ルモワーヌろっかくけい、英: Lemoine hexagon）またはルモワーヌ六辺形^[2]^[3]は、三角形のルモワーヌ点を通る三角形の辺に平行な直線（ルモワーヌ平行線）と各辺の交点から成る内接六角形である。点の繋ぎ方によって二つの異なる定義がある。

面積と周長

ルモワーヌ六角形は二つの定義ができる。一つは単に交点を頂点とする六角形として定義するものである。もう一つは、頂点は先と同様であるが、ルモワーヌ平行線を辺に持ち、すべての辺がルモワーヌ点で交わるような六角形として定義するものである。

単純な方の六角形は、三角形の辺長を $a, b, c$ 、面積を $Δ$ として周長は次の式で与えられる。

p = \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 a b c}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

面積は次の式で与えられる。

K = \frac{a^{4} + b^{4} + c^{4} + a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}}{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}} Δ

自己交叉する方の六角形の周長は、

p = \frac{(a + b + c) (a b + b c + c a)}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

面積は、

K = \frac{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}}{{(a^{2} + b^{2} + c^{2})}^{2}} Δ

平面幾何学においては円錐曲線は五点で決まる（英語版）。したがって、6つの点がいつでも同一円錐曲線上にある、特に共円であるとは限らない。しかしルモワーヌ六角形は共円多角形である。その外接円は第一ルモワーヌ円と言われる。ルモワーヌ六角形の一般化にタッカー円を使うものがある。

↑ 長澤龜之助『幾何学精義（数学中等参考叢書）』成美堂書店、1907年、693頁。NDLJP:828520。
↑ ウジェーヌ・ルーシェ, シャルル・ド・コンブルース著、小倉金之助編『初等幾何学第1巻平面之部』山海堂、1913年、602,622頁。NDLJP:930885。
↑ 長澤龜之助『三角法精義』成美堂書店、1907年、253頁。NDLJP:828657。

Casey, John (1888), “Lemoine's, Tucker's, and Taylor's Circles”, A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples (5th ed.), Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 179ff
Lemoine, É. (1874), “Sur quelques propriétés d’un point remarquable d’un triangle” (French), Association francaise pour l'avancement des sciences, Congrès (002; 1873; Lyon), pp. 90–95 .
Mackay, J. S. (1895), “Symmedians of a triangle and their concomitant circles”, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 14: 37–103, doi:10.1017/S0013091500031758 .