Matrix (mathematica)

Vide etiam paginam discretivam: matrix.

Matrix in mathematica est tabula numerorum formae rectangularis. Hi numeri matricis “elementa” vel “componentia” scilicet elementa vel fortasse relata scilicet elementa in matrice vocantur.

Matricis nomen Iacobus Ioseph Sylvester mathematicus Anglicus finxit.

Genus matricis numero transversorum et directorum ordinum (i.e. numerus “versuum” et “columnarum”) definitur. Quodcumque matricis elementum ad quemdam ordinem tranversum et ad quemdam directum pertinet. Haec matrix exempli gratia ordines duos transversos et tres directos habet et nomine matricis $2 \times 3$ designatur:

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{matrix})

vel

[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{matrix}]

Si ordinum numerus directorum est idem quam transversorum, matrix vocatur “quadrata”.

His cum matricibus operationes mathematicae perfieri possunt sicut additio, subtractio vel multiplicatio. Alia operatio specialis quae cum illis matricibus fieri potest, quae sunt regulares, est inversio. Et alia operatio est transpositio.

Matrix alii vel addi vel subtrahi potest

Si duae matrices sunt eiusdem typi alia alii addi possunt vel alia matrix ab alia subtrahi potest.

Haec est summa duarum matricum: $m \times n$ :

A + B := (a_{i j} + b_{i j})_{i = 1, \dots, m; j = 1, \dots, n}

Ad exemplum:

(\begin{matrix} 1 & - 3 & 2 \\ 1 & 2 & 7 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 + 0 & - 3 + 3 & 2 + 5 \\ 1 + 2 & 2 + 1 & 7 + (- 1) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 7 \\ 3 & 3 & 6 \end{matrix})

Multiplicatio

Matrix cum numero scalari multiplicetur

Matrix cum numero scalari multiplicatur eo modo, quod omnia matricis elementa multiplicantur cum numero scalari:

λ \cdot A := (λ \cdot a_{i j})_{i = 1, \dots, m; j = 1, \dots, n}

Hoc in exemplo numerus scalaris est 5:

5 \cdot (\begin{matrix} 1 & - 3 & 2 \\ 1 & 2 & 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \cdot 1 & 5 \cdot (- 3) & 5 \cdot 2 \\ 5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 & - 15 & 10 \\ 5 & 10 & 35 \end{matrix})

Matrix cum alia matrice multiplicetur

Duae matrices multiplicari possunt si numerus ordinum transversorum laevae matricis est idem quam numerus ordinum directorum dextrae.

Productum matricis $l \times m$ -Matrix $A = (a_{i j})_{i = 1 \dots l, j = 1 \dots m}$ cum alii $m \times n$ -Matrix $B = (b_{i j})_{i = 1 \dots m, j = 1 \dots n}$ est $l \times n$ -Matrix $C = (c_{i j})_{i = 1 \dots l, j = 1 \dots n}$ , cuius elementa relata computantur multiplicando unum elementum lineolae primae matricis cum vectore directo aliae matricis:

c_{i j} = \sum_{k = 1}^{m} a_{i k} \cdot b_{k j}

Computationis exemplum:

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 & - 1 \\ 3 & 2 \\ 0 & - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 & 1 \cdot (- 1) + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (- 3) \\ 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 0 & 4 \cdot (- 1) + 5 \cdot 2 + 6 \cdot (- 3) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 12 & - 6 \\ 39 & - 12 \end{matrix})

Matrix quadrata cum se ipsa multiplicetur

Matrix quadrata A sit:

A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix})

Matrix A cum se ipsa multiplicatur sic:

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 7 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 8 & 1 \cdot 3 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 9 \\ 4 \cdot 1 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 7 & 4 \cdot 2 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 8 & 4 \cdot 3 + 5 \cdot 6 + 6 \cdot 9 \\ 7 \cdot 1 + 8 \cdot 4 + 9 \cdot 7 & 7 \cdot 2 + 8 \cdot 5 + 9 \cdot 8 & 7 \cdot 3 + 8 \cdot 6 + 9 \cdot 9 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 30 & 36 & 42 \\ 66 & 81 & 96 \\ 102 & 122 & 150 \end{matrix})

Eo modo matrix A est elevata ad potentiam secundam.

Matrix idemfactor est matrix quadrata diagonalis, cuius omnia elementa in diagonale principali sunt 1 et omnia alia sunt 0; signum talis matricis est I, vel I_n ubi n est numerus ordinum et columnum.

I_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Deinde, omni matrice A, AI = IA = A.

Matricis transpositio

Si est matrix $A = (a_{i j})$ cum forma $m \times n$ , matricis transpositum^[1] est $A^{T} = (a_{j i})$ forma $n \times m$ , id est haec matrix

A = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix})

habet matricem transpositum

A^{T} = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{m 1} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{1 n} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) .

Exemplum:

{(\begin{matrix} 1 & 8 & - 3 \\ 4 & - 2 & 5 \end{matrix})}^{T} = (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 8 & - 2 \\ - 3 & 5 \end{matrix}) .

Nexus interni

↑ Haec appellatio a Vicipaediano e lingua indigena in sermonem Latinum conversa est (barbarice: transpose). Extra Vicipaediam huius locutionis testificatio vix inveniri potest.

[1] Haec appellatio a Vicipaediano e lingua indigena in sermonem Latinum conversa est (barbarice: transpose). Extra Vicipaediam huius locutionis testificatio vix inveniri potest.

[1]