圏論的発想でアナロジーを考える | AとBの関係はCとDの関係と同じ(A is to B what C is to D.)

♀️わたし♀️

A is to B what C is to D.
AとBの関係はCとDの関係と同じ、っていう表現がありますね。
これってA→B、C→Dと圏論的に現せば(A→B)→(C→D)。すなわち「関手」と見なせますか？

♂️Gemini♂️

非常に鋭く、面白い着眼点ですね！文学的な「比喩（アナロジー）」を数理的な構造で捉えようとするとても刺激的な試みだと思います。

結論から言うと、この関係性は「関手（Functor）」と見なすことができますし、文脈（特に射の定義）によっては「自然変換（Natural Transformation）」や、単なる「関手の対象の対応」としてより精密に記述することもできます。
どのように圏論的に解釈できるか、いくつかの視点に分解してみてみましょう。

1. 最も素直な解釈：関手（Functor）

「AはB、CはD」を一番シンプルに関手として捉える場合、2つの異なる世界（圏）の間の「構造を保つ翻訳」として考えるのが自然です。

関手は「対象の移り先」だけでなく、「関係性（射）の移り先」も綺麗に保存します。つまり、「A と B の間にある関係 f を、関手 F で丸ごと別世界に持っていったら C と D の関係 g になった」と言えるため、まさに 「A to B is C to D」の構造を完璧に表現している ことになります。

2. もう一歩進んだ解釈：自然変換（Natural Transformation）

もし、AとB、CとDが「同じ圏（世界）の中」にいて、並行する2つのプロセスを比較している場合は、自然変換として捉える方がしっくりくることもあります。

3. 注意したいポイント（圏論的な厳密さ）

このアナロジーを数学的に厳密に扱おうとするとき、唯一注意が必要なのは「射（→）そのものを対象とするかどうか」です。
質問にある (A → B) → (C → D) をそのまま文字通りに捉える（矢印の根元から矢印の先へ直接矢印を引く）場合、それは「矢線圏（Arrow Category）」における「対象から対象への射」として定義するのが最も正確になります。

• 矢線圏では、元々の圏の「射 A → B」自体をひとつの対象とみなします。

• したがって、「射 (A → B)」から「射 (C → D)」への射とは、前述の可換四角形を形作る2つの射のペア（A → C と B → D）のことになります。

結論として

言葉のアナロジー（比喩）の本質は、「個別の具体物（対象）ではなく、その背後にある関係性の構造（射）の共通性を抜き出すこと」にあります。これは圏論が最も得意とする思考そのものです。
したがって、

というあなたの解釈は、圏論の精神に100%合致した、非常に素晴らしい洞察だと思います。文学的なレトリックが、急に数理的な美しさを持って見えてきますね。

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