Przejdź do zawartości

Émile Lemoine

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Émile Lemoine
Ilustracja
Émile Lemoine
Państwo działania

 Francja

Data i miejsce urodzenia

22 listopada 1840
Quimper

Data i miejsce śmierci

21 lutego 1912
Paryż

Zawód, zajęcie

matematyk, inżynier

Specjalność: geometria
Alma Mater

École polytechnique

Multimedia w Wikimedia Commons

Émile Michel Hyacinthe Lemoine (wym. [emil ləmwan]; ur. 22 listopada 1840 w Quimper, zm. 21 lutego 1912 w Paryżu) – francuski matematyk i inżynier zajmujący się geometrią[1]. Najbardziej znany jest z wykazania, że symediany trójkąta przecinają się w jednym punkcie, nazywanym dziś na jego cześć punktem Lemoine’a[1][2][3]. Uznawany jest, obok Henriego Brocarda i Josepha Neuberga, za jednego z trzech współtwórców nowoczesnej geometrii trójkąta(inne języki)[4][5.1].

Do jego pozostałych dokonań matematycznych należą opracowany przez niego system zwany géométrographie (geometrografią) oraz metoda wiążąca wyrażenia algebraiczne z obiektami geometrycznymi[1][2].

Po ukończeniu studiów Lemoine przez pewien czas nauczał matematyki w École polytechnique[6][7.1]. W późniejszych latach pracował jako inżynier w Paryżu, amatorsko interesował się też muzyką[2][1]. W okresie pracy dydaktycznej i inżynierskiej opublikował kilka prac matematycznych[1]. Był ponadto współzałożycielem czasopisma matematycznego L'Intermédiaire des mathématiciens(inne języki)[1].

Życiorys

[edytuj | edytuj kod]

Młodość i wykształcenie (1840–1869)

[edytuj | edytuj kod]

Lemoine urodził się w Quimper w Bretanii 22 listopada 1840 jako syn emerytowanego kapitana, który brał udział w kampaniach napoleońskich po roku 1807[2]. W dzieciństwie uczęszczał do wojskowego prytaneum w La Flèche dzięki stypendium przyznanemu mu, ponieważ jego ojciec pomagał zakładać tę szkołę. Już w tym wczesnym okresie, w 1858, opublikował w piśmie Nouvelles annales de mathématiques(inne języki) artykuł, Note sur une conique et son cercle directeur, poświęcony krzywej stożkowej[1].

Strona tytułowa septetu Es-dur op. 65 Camille’a Saint-Saënsa, napisanego na prośbę Lemoine’a dla stowarzyszenia La Trompette

W wieku dwudziestu lat, w roku śmierci ojca, Lemoine został przyjęty do École polytechnique w Paryżu[2][1]. Jako jej student współtworzył wpływowe stowarzyszenie muzyki kameralnej o nazwie La Trompette(inne języki), dla którego Camille Saint-Saëns skomponował kilka utworów, w tym septet na trąbkę, kwintet smyczkowy i fortepian[1][2]. Nazwa stowarzyszenia wzięła się z żartobliwego okrzyku jednego z kolegów: Les voilà encore à leur trompette! („znowu są przy swojej trąbce”)[8.1]. Lemoine prowadził wieczory muzyczne La Trompette jeszcze w 1910[8.2], a wspomniany septet Saint-Saënsa (Es-dur op. 65, 1880) powstał na jego namowę[8.3][1]. Po ukończeniu studiów w 1866[1] nie wybrał żadnej z karier państwowych, które otwierały się przed absolwentami École polytechnique[2]. Studiował i nauczał w różnych instytucjach[2]. Był studentem École des Mines, preparatorem (asystentem przygotowującym pokazy) astronoma Pierre’a Janssena w szkole architektury oraz zastępcą swojego dawnego profesora Kiœsa na kursie przygotowawczym École des Beaux-Arts[2]. Ponadto uczył się chemii w laboratorium Charles’a Adolphe’a Wurtza i uczęszczał na zajęcia szkoły medycznej[2]. Na koniec przez rok studiował prawo, musiał jednak z tego zrezygnować, bo jego republikańskie przekonania i liberalne poglądy na sprawy Kościoła ściągnęły na niego niełaskę władz Drugiego Cesarstwa[2][1]. W tych latach uczył przedmiotów ścisłych w Paryżu i podróżował, na ile pozwalały mu dochody, a gdy ich brakowało, nierzadko wyjeżdżał jako nauczyciel domowy zamożnych rodzin[2]. Przez kilka lat nauczał też matematyki w École polytechnique[6][7.1].

Lata dojrzałe (1870–1887)

[edytuj | edytuj kod]
École polytechnique, gdzie Lemoine studiował i przez pewien czas nauczał

W 1870 dolegliwość krtani zmusiła go do przerwania pracy dydaktycznej i wyjazdu z Paryża na odpoczynek do Grenoble[2]. W tym czasie wrócił do badań matematycznych i w 1870 ogłosił dwie noty w Nouvelles annales de mathématiques[1]. Brał również udział w zakładaniu kilku towarzystw naukowych i czasopism, takich jak Francuskie Towarzystwo Matematyczne(inne języki) (Société mathématique de France), Journal de Physique oraz Société de Physique(inne języki) – na początku lat 70. XIX wieku[2].

Jako jeden z członków-założycieli Association française pour l'avancement des sciences(inne języki) Lemoine występował na jej zjazdach z pracami o geometrii trójkąta. W 1873 na zjeździe w Lyonie przedstawił notę Sur quelques propriétés d'un point remarquable du triangle[2], a w 1874 na zjeździe w Lille – pracę Note sur les propriétés du centre des médianes antiparallèles dans un triangle, której głównym tematem był punkt noszący dziś jego imię[2]. Pierwsza z tych prac zawierała m.in. twierdzenie o sześciu punktach współokręgowych, w których proste poprowadzone przez punkt Lemoine’a równolegle do boków trójkąta przecinają te boki[2].

Podczas wojny francusko-pruskiej Lemoine przez pewien czas służył w armii[2][1]. Latem 1871, parę miesięcy po upadku Komuny Paryskiej, wrócił do Paryża, gdzie zmienił zawód i został inżynierem[2][1]. Przez kolejne lata zajmował różne stanowiska inżynierskie, a w 1886 został miejskim inżynierem kierującym działem gazowniczym[2][1]. W tej karierze awansował do rangi głównego inspektora i jako taki odpowiadał za zaopatrzenie miasta w gaz – stanowisko to piastował do 1896[1][9].

Ostatnie lata (1888–1912)

[edytuj | edytuj kod]

W okresie pracy inżynierskiej Lemoine napisał traktat poświęcony konstrukcjom geometrycznym za pomocą cyrkla i linijki, zatytułowany La Géométrographie ou l'art des constructions géométriques. Uznawał go za swoje największe dzieło, choć nie zostało ono dobrze przyjęte[2][1]. Pierwsze idee geometrografii przedstawił w 1888 na zjeździe Association française w Oranie w Algierii, w referacie o szerszym temacie, zatytułowanym De la mesure de la simplicité dans les sciences mathématiques[2][1]. Z braku czasu ograniczył jednak rozważania do prostoty konstrukcji geometrycznych[2]. Lemoine sprowadził proces konstrukcji do pięciu podstawowych operacji wykonywanych cyrklem i linijką[10]. Matematycy obecni na zjeździe nie uznali tych wyników za szczególnie interesujące i podobny brak zainteresowania utrzymał się także później[1]. Jeszcze w 1888 Lemoine opublikował kilka kolejnych prac o swoim systemie konstrukcji, m.in. Sur la mesure de la simplicité dans les constructions géométriques w Comptes rendus(inne języki) Francuskiej Akademii Nauk[2]. Dalsze teksty na ten temat ogłosił w czasopismach Mathesis (1888), Journal des mathématiques élémentaires (1889) i Nouvelles annales de mathématiques (1892)[2]. Na zjazdach Association française w Pau (1892), Besançon (1893) i Caen (1894) przedstawił ponadto serię referatów La Géométrographie ou l'art des constructions géométriques[2].

Następnie Lemoine opublikował kolejną serię prac, w tym cykl poświęcony temu, co nazywał transformation continue (transformacją ciągłą)[2]. Transformacja ta pozwalała bez wysiłku, niemal mechanicznie otrzymywać wiele wzorów i twierdzeń dotyczących trójkąta i czworościanu, a sam Lemoine stawiał te prace na drugim miejscu po geometrografii[2]. Należały do nich prace Sur les transformations systématiques des formules relatives au triangle (1891), Étude sur une nouvelle transformation dite transformation continue (1891), Une règle d'analogies dans le triangle… (1893) oraz Applications au tétraèdre de la transformation continue[2]. W 1892 wraz z Henrim-Auguste’em Delannoyem(inne języki) i Charles’em-Ange’em Laisantem(inne języki) (przyjacielem poznanym w École polytechnique) zajmował się wydaniem rekreacyjnych dzieł Édouarda Lucasa[7.2][1].

W 1894 Lemoine wraz z Laisantem założył kolejne czasopismo matematyczne, L'Intermédiaire des mathématiciens[1]. Od pewnego czasu nosił się z pomysłem takiego pisma, nie myśląc jednak o jego realizacji[2]. W marcu 1893, po kolacji z Laisantem w swoim domu, podsunął mu ten pomysł[2]. Laisant od razu docenił projekt i namówił przyjaciela do wspólnej realizacji, choć Lemoine uważał to za niemożliwe z powodu innych zajęć i złego stanu zdrowia[2]. Następnego dnia projekt przedstawiono wydawcy Gauthier-Villars(inne języki), a pierwszy numer ukazał się w styczniu 1894[2]. Lemoine był pierwszym redaktorem pisma i pełnił tę funkcję przez wiele lat[1]. Rok po ukazaniu się pierwszego numeru, w 1895, wycofał się z czynnych badań matematycznych, nadal jednak wspierał tę dziedzinę[1]. Émile Lemoine zmarł 21 lutego 1912 w Paryżu[1].

Wkład w matematykę

[edytuj | edytuj kod]

Prace Lemoine’a uznaje się za ważny wkład w powstanie nowoczesnej geometrii trójkąta[4]. W biografii Lemoine’a ogłoszonej w czasopiśmie American Mathematical Monthly David Eugene Smith(inne języki) stwierdził, że „nikomu spośród tych [geometrów] bardziej niż Émile’owi-Michelowi-Hyacinthe’owi Lemoine’owi nie należy się zaszczyt zapoczątkowania tego ruchu [nowoczesnej geometrii trójkąta]”[2]. Na dorocznym posiedzeniu paryskiej Akademii Nauk w 1902 Lemoine otrzymał wartą 1000 franków nagrodę Francœura[11]. Nagrodę tę otrzymywał od 1902 aż do śmierci w 1912, z wyjątkiem 1905[12][13.1], kiedy przyznano ją Stouffowi[14].

Punkt i okrąg Lemoine’a

[edytuj | edytuj kod]
Punkt Lemoine’a L. Czarne linie to środkowe, kropkowane to dwusieczne, a czerwone to symediany (odbicia środkowych względem dwusiecznych).
Pierwszy okrąg Lemoine’a (czerwony): proste poprowadzone przez punkt Lemoine’a równolegle do boków przecinają je w sześciu punktach współokręgowych.

W pracach z 1873 i 1874 Lemoine badał punkt przecięcia symedian trójkąta, czyli odbić środkowych względem dwusiecznych kątów[1][3]. Do wyników pracy z 1873 należała też obserwacja, że symediana wychodząca z wierzchołka trójkąta dzieli przeciwległy bok na odcinki, których stosunek jest równy stosunkowi kwadratów dwóch pozostałych boków[1][5.2]. Formalnie, dla trójkąta o bokach symediana wychodząca z wierzchołka przecina bok w punkcie spełniającym [5.3]. Wynika stąd, że punkt Lemoine’a ma współrzędne barycentryczne równoważne współrzędnym trójliniowym [15.1][16].

Lemoine wykazał też, że jeśli przez punkt Lemoine’a poprowadzić proste równoległe do boków trójkąta, to sześć punktów przecięcia tych prostych z bokami jest współokręgowych, czyli leży na jednym okręgu[1][5.4][16]. Okrąg ten nazywany jest dziś pierwszym okręgiem Lemoine’a(inne języki) lub po prostu okręgiem Lemoine’a[1][17]. Jego środek leży w połowie odcinka łączącego punkt Lemoine’a ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie, a sześć wspomnianych punktów przecięcia tworzy wpisany w ten okrąg sześciokąt Lemoine’a[18][19].

Punktem tym zajmowali się już wcześniej inni matematycy, dlatego w Niemczech przez pewien czas nazywano go „punktem Grebego” – od nazwiska Ernsta Wilhelma Grebego(inne języki). Robert Tucker(inne języki) zaproponował określenie „punkt symedialny”[6], a Joseph Neuberg(inne języki) w 1884 wprowadził nazwę „punkt Lemoine’a”, która przyjęła się zwłaszcza we Francji[6][5.5].

Geometrografia

[edytuj | edytuj kod]

System konstrukcji Lemoine’a, géométrographie (geometrografia(inne języki)), miał stworzyć metodologię pozwalającą oceniać konstrukcje geometryczne i umożliwiał bardziej bezpośrednie upraszczanie konstrukcji już istniejących. W jego opisie Lemoine wymienił pięć podstawowych operacji, czyli przyłożenie nóżki cyrkla do danego punktu, przyłożenie jej do danej prostej, narysowanie okręgu tak ustawionym cyrklem, przyłożenie krawędzi linijki do danego punktu oraz poprowadzenie prostej wzdłuż tak przyłożonej linijki[10][20].

Problem Apoloniusza: okrąg (różowy) styczny do trzech danych okręgów. Konstrukcję takiego okręgu Lemoine uprościł do 199 operacji.

„Prostotę” konstrukcji można mierzyć liczbą wykonanych operacji. W swojej pracy Lemoine omówił jako przykład problem Apoloniusza, postawiony pierwotnie przez Apoloniusza z Pergi w epoce hellenistycznej, czyli zadanie skonstruowania okręgu stycznego do trzech danych okręgów[1][21]. Jedno z rozwiązań podał w 1816 Joseph Diaz Gergonne[21]. Zwykła konstrukcja wymagała ponad 400 operacji, a Lemoine zredukował ich liczbę do 199[10][1]. Późniejsze rozwiązania podali m.in. Frederick Soddy w 1936 i David Eppstein(inne języki) w 2001[21]. Ustalenie, czy dana konstrukcja ma najmniejszą możliwą prostotę, bywa wskazywane jako zagadnienie prawdopodobnie nierozwiązane[22].

Hipoteza Lemoine’a

[edytuj | edytuj kod]

W 1894 Lemoine sformułował hipotezę znaną dziś jako hipoteza Lemoine’a(inne języki): każda liczba nieparzysta większa od 5 da się zapisać w postaci gdzie i są liczbami pierwszymi. Innymi słowy, jest ona sumą liczby pierwszej i podwojonej liczby pierwszej (np. )[23][24]. Hipoteza ta jest mocniejsza od słabej hipotezy Goldbacha, głoszącej, że każda liczba nieparzysta większa od 5 jest sumą trzech liczb pierwszych[25][26]. Hipoteza Lemoine’a bywa też nazywana hipotezą Levy’ego, od Hymana Levy’ego, który w 1963 sformułował ją ponownie[25][27]. W 1985 John Kiltinen i Peter Young sformułowali jej wzmocnienie, które nazwali „wyrafinowaną hipotezą Lemoine’a”[24].

Rola w nowoczesnej geometrii trójkąta

[edytuj | edytuj kod]

Nathan Altshiller Court określił Lemoine’a jako współtwórcę (obok Henriego Brocarda i Josepha Neuberga) nowoczesnej geometrii trójkąta[5.1] – terminu używanego m.in. przez Williama Gallatly’ego[15]. W tym kontekście słowo „nowoczesna” odnosi się do geometrii rozwijanej od końca XVIII wieku[28]. Według Steve’a Sigura opiera się ona na dostrzeganiu struktur w trójkącie i wokół niego, a nie na szkolnej geometrii równości, w której liczą się odległości, kąty i przystawanie[28]. Za świadectwo ciekawej struktury uznaje się w niej współpękowość prostych i współliniowość punktów[28].

Według Smitha wkład Lemoine’a w geometrię polegał na wykazaniu, że pole geometrii syntetycznej wcale nie zostało wyczerpane, że Euklides pozostawił coś do zrobienia także ówczesnemu pokoleniu i że oryginalny umysł znajdzie obfity materiał nawet w najprostszym wielokącie[2]. Court podkreślał, że Lemoine w licznych pracach ujawnił wielką obfitość własności geometrycznych związanych z punktem jego imienia i nadał mu w badaniach geometrii trójkąta znaczenie dorównujące środkowi ciężkości i ortocentrum[5.5].

Nazwiskiem Lemoine’a nazwano później także inne obiekty geometrii trójkąta. Należą do nich oś Lemoine’a (czyli biegunowa punktu Lemoine’a względem okręgu opisanego) oraz drugi i trzeci okrąg Lemoine’a[29][30][16.1]. Wśród nich jest również wpisana w trójkąt elipsa Lemoine’a, mająca ogniska w punkcie Lemoine’a i środku ciężkości trójkąta[31]. Jego imię noszą też trójkąt Lemoine’a oraz kubika Lemoine’a (krzywa trzeciego stopnia)[32][33]. Już w 1868 Lemoine postawił ponadto problem odtworzenia trójkąta na podstawie wierzchołków trójkątów równobocznych zbudowanych na jego bokach. Ogólne rozwiązanie, dla trójkątów równoramiennych, podał w 1869 Ludwig Kiepert(inne języki), posługując się hiperbolą Kieperta(inne języki)[34].

Wybrane prace

[edytuj | edytuj kod]
Wybrane prace Lemoine’a[2]
RokPracaTematyka
1873Sur quelques propriétés d'un point remarquable du trianglepunkt Lemoine’a
1874Note sur les propriétés du centre des médianes antiparallèles dans un trianglepunkt symedialny
1888Sur la mesure de la simplicité dans les constructions géométriquesgeometrografia
1891Sur les transformations systématiques des formules relatives au triangletransformacja ciągła
1891Étude sur une nouvelle transformation dite transformation continuetransformacja ciągła
1892La Géométrographie ou l'art des constructions géométriquesgeometrografia
1893Une règle d'analogies dans le triangle et la spécification de certaines analogies à une transformation dite transformation continuetransformacja ciągła

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 John J. O'Connor, Edmund F. Robertson, Émile Michel Hyacinthe Lemoine [online], MacTutor History of Mathematics Archive [dostęp 2026-06-25] [zarchiwizowane z adresu 2026-04-27], Cytat: The usual construction required over 400 of Lemoine's operations but he was able to reduce the number to 199. (ang.).
  2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 David Eugene Smith, Biography of Émile-Michel-Hyacinthe Lemoine, „American Mathematical Monthly”, 3 (2), 1896, s. 29–33, DOI: 10.2307/2968278, JSTOR: 2968278 (ang.).
  3. 1 2 Małgorzata Dutka, Krótka opowieść o symedianie, „Delta” (2), 2015 [dostęp 2026-06-27] [zarchiwizowane z adresu 2024-08-20] (pol.).
  4. 1 2 Clark Kimberling, Triangle Geometers [online], University of Evansville [dostęp 2026-06-25] [zarchiwizowane z adresu 2008-02-16] (ang.).
  5. Nathan Altshiller Court, College Geometry, Nowy Jork: Dover Publications, 2007, ISBN 0-486-45805-9 (ang.).
    1. 1 2 s. 304–305
    2. ↑ s. 248, 304
    3. ↑ s. 248
    4. ↑ s. 257–258
    5. 1 2 s. 304
  6. 1 2 3 4 Clark Kimberling, Émile Michel Hyacinthe Lemoine (1840–1912), geometer [online], University of Evansville [dostęp 2026-06-25] [zarchiwizowane z adresu 2026-04-23] (ang.).
  7. Jean-Michel Autebert, Anne-Marie Décaillot, Sylviane R. Schwer, Henri-Auguste Delannoy et la publication des œuvres posthumes d’Édouard Lucas, „Gazette des mathématiciens” (95), 2003, s. 51–62 [zarchiwizowane 2014-04-28] (fr.).
    1. 1 2 s. 60
    2. ↑ s. 51
  8. Lucien Augé de Lassus, La Trompette. Un demi-siècle de musique de chambre, Paryż: Delagrave, 1911 [dostęp 2026-10-24] (fr.).
    1. ↑ s. 8
    2. ↑ s. 224
    3. ↑ s. 53–54
  9. ↑ Katrin Weiße, Peter Schreiber, Zur Geschichte des Lemoineschen Punktes, „Beiträge zur Geschichte, Philosophie und Methodologie der Mathematik”, 38 (4), 1989, s. 73–74 (niem.).
  10. 1 2 3 Julian L. Coolidge, A History of Geometrical Methods, Oksford: Dover Publications, 1980, s. 58, ISBN 0-486-49524-8 (ang.).
  11. ↑ Notes, „Bulletin of the American Mathematical Society”, 9 (5), 1903, s. 271–276, DOI: 10.1090/S0002-9904-1903-00993-8 (ang.).
  12. ↑ Notes, „Bulletin of the American Mathematical Society”, 18 (8), 1912, s. 424, DOI: 10.1090/S0002-9904-1912-02239-5 (ang.).
  13. Bernard Bru, Les leçons de calcul des probabilités de Joseph Bertrand. « Les lois du hasard », „Journal Électronique d’Histoire des Probabilités et de la Statistique”, 2006 [dostęp 2026-10-24] [zarchiwizowane z adresu 2016-11-08] (fr.).
    1. ↑ s. 36
  14. ↑ Séance du 18 décembre, „Le Moniteur Scientifique du Docteur Quesneville”, 1906, s. 154–155, Cytat: Prix décernés en 1905. Géométrie. Prix Francœur. M. Stouff. (fr.).
  15. ↑ William Gallatly, The Modern Geometry of the Triangle, Scholarly Publishing Office, 2005, ISBN 978-1-4181-7845-1 (ang.).
    1. ↑ s. 86
  16. 1 2 F.C. Gentry, Analytic Geometry of the Triangle, „National Mathematics Magazine”, 16 (3), 1941, s. 127–140, DOI: 10.2307/3028804, JSTOR: 3028804 (ang.).
    1. ↑ s. 136
  17. ↑ Robert Lachlan, An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry, Macmillan, 1893, s. 76, ISBN 978-1-4297-0050-4 (ang.).
  18. ↑ Eric W. Weisstein, First Lemoine Circle, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
  19. ↑ Eric W. Weisstein, Lemoine Hexagon, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
  20. ↑ Émile Lemoine, La Géométrographie ou l'art des constructions géométriques, Scientia, Paryż 1903 [dostęp 2026-06-25] [zarchiwizowane z adresu 2025-05-17] (fr.).
  21. 1 2 3 David Gisch, Jason M. Ribando, Apollonius' Problem: A Study of Solutions and Their Connections, „American Journal of Undergraduate Research”, 3 (1), University of Northern Iowa, 2004 [zarchiwizowane 2016-03-11] (ang.).
  22. ↑ Eric W. Weisstein, Geometrography, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
  23. ↑ Leonard E. Dickson, History of the Theory of Numbers, t. 1, Nowy Jork: Chelsea, 1971, s. 424, ISBN 0-8284-0086-5 (ang.).
  24. 1 2 John O. Kiltinen, Peter B. Young, Goldbach, Lemoine, and a Know/Don't Know Problem, „Mathematics Magazine”, 58 (4), 1985, s. 195–203, DOI: 10.2307/2689513, JSTOR: 2689513 (ang.).
  25. 1 2 Eric W. Weisstein, Levy’s Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
  26. ↑ Eric W. Weisstein, Weak Goldbach Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
  27. ↑ Hyman Levy, On Goldbach's Conjecture, „The Mathematical Gazette”, 47, 1963, s. 274 (ang.).
  28. 1 2 3 Steve Sigur, The Modern Geometry of the Triangle, Paideia School, 1999 [zarchiwizowane 2009-03-04] (ang.).
  29. ↑ Eric W. Weisstein, Lemoine Axis, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
  30. ↑ Eric W. Weisstein, Third Lemoine Circle, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
  31. ↑ Eric W. Weisstein, Lemoine Inellipse, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
  32. ↑ Eric W. Weisstein, Lemoine Triangle, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
  33. ↑ Eric W. Weisstein, Lemoine Cubic, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
  34. ↑ Eric W. Weisstein, Lemoine's Problem, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • John J. O'Connor, Edmund F. Robertson, Émile Michel Hyacinthe Lemoine [online], MacTutor History of Mathematics Archive [dostęp 2026-06-25] [zarchiwizowane z adresu 2026-04-27] (ang.).
  • Nathan Altshiller Court, College Geometry, Nowy Jork: Dover Publications, 2007, ISBN 0-486-45805-9 (ang.).

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Émile_Lemoine&oldid=81096235”