Solenoide

Ilustração de um solenoide

Campo magnético criado por um solenoide de sete espiras, em vista transversal, representado por linhas de campo

Demonstração do campo magnético com um fio isolado em forma de solenoide e limalha de ferro

Um solenoide (em inglês, /ˈsoʊlənɔɪd/) é um tipo de eletroímã formado por uma bobina helicoidal de fio. Na idealização usual de um solenoide longo, o comprimento da bobina é substancialmente maior que seu diâmetro. Quando uma corrente elétrica passa pela bobina, um solenoide suficientemente longo produz um campo magnético aproximadamente uniforme na região central de seu interior. No modelo ideal de comprimento infinito, com corrente superficial uniforme e puramente azimutal, o campo produzido pelo solenoide é uniforme no interior e nulo no exterior.

André-Marie Ampère criou o termo solenoide em 1823, depois de conceber bobinas helicoidais em 1820. O termo francês solénoïde deriva da palavra grega σωληνοειδής, que significa tubular.

A bobina helicoidal de um solenoide não precisa necessariamente girar em torno de um eixo retilíneo. O eletroímã construído por William Sturgeon em 1825, por exemplo, tinha um enrolamento em torno de um núcleo curvado em forma de ferradura, de maneira semelhante a uma mola em arco.

Solenoides foram usados para a focalização magnética de elétrons no vácuo, em especial em tubos de câmeras de televisão, como vidicons e image orthicons. Essas bobinas de foco envolvem grande parte do comprimento do tubo e produzem um campo axial. Em uma região de campo aproximadamente uniforme, os elétrons que têm componentes de velocidade paralela e perpendicular ao campo percorrem trajetórias helicoidais.

Física

Solenoide contínuo infinito

Figura 1: solenoide infinito com três contornos amperianos arbitrários, designados a, b e c. A integração ao longo do caminho c permite verificar que o campo magnético dentro do solenoide é uniforme em relação à coordenada radial.

Um solenoide infinito tem comprimento infinito e diâmetro finito. O termo "contínuo" significa que ele não é formado por espiras discretas de largura finita, mas por uma distribuição contínua de corrente superficial, que pode ser vista como o limite de muitas espiras infinitamente finas sem espaço entre elas.

No solenoide ideal infinitamente longo, o campo magnético é homogêneo no interior e nulo no exterior, na ausência de outro campo magnético aplicado. A densidade de fluxo magnético no interior não depende da distância ao eixo nem da posição ao longo do solenoide. Para a mesma corrente e o mesmo número de espiras por unidade de comprimento, seu valor também independe da área da seção transversal.

O sentido do campo é obtido pela regra da mão direita. Ao envolver as espiras com os dedos da mão direita no sentido da corrente, o polegar aponta no sentido do campo no interior do solenoide.

Eletroímã de Sturgeon

Considere o contorno imaginário c da Figura 1, situado inteiramente dentro do solenoide e com seus dois lados longitudinais a distâncias diferentes do eixo. No regime magnetostático, pela Lei de Ampère, a integral de linha de B ao longo desse contorno é zero, pois nenhuma corrente atravessa a superfície delimitada por ele. Os segmentos transversais não contribuem, já que são perpendiculares ao campo. As contribuições dos dois segmentos longitudinais precisam ter o mesmo módulo, o que mostra que o campo interno não varia com a coordenada radial.

Na região externa de um solenoide ideal infinito, a simetria e a lei de Ampère tornam o campo axial independente da posição. Para o campo produzido apenas pelo solenoide, sem um campo uniforme externo imposto, essa constante é zero. Em um solenoide finito existe um campo externo de retorno, e as linhas de campo que saem de uma extremidade retornam pela outra. Isso é compatível com a Lei de Gauss para o magnetismo, pela qual o fluxo magnético líquido através de qualquer superfície fechada é zero.

Aplicação da Lei de Ampère a um solenoide

Se $n_{\mathrm {e} }$ é o número de espiras por unidade de comprimento, um contorno amperiano retangular cujo segmento interno tem comprimento $s$ envolve uma corrente total $n_{\mathrm {e} }sI$. Como o campo externo do solenoide ideal infinito é nulo,

$Bs=\mu _{0}n_{\mathrm {e} }sI,$

de modo que

$B=\mu _{0}n_{\mathrm {e} }I.$

Para um solenoide longo com $N$ espiras distribuídas uniformemente ao longo de um comprimento $l$, $n_{\mathrm {e} }=N/l$, e a expressão assume a forma

$B\approx \mu _{0}{\frac {NI}{l}},$

em que $\mu _{0}$ é a permeabilidade do vácuo e $I$ é a corrente em cada espira. A aproximação se aplica ao interior, longe das extremidades.

Se o interior do solenoide ideal estiver completamente preenchido por um material linear, homogêneo e isotrópico de permeabilidade relativa $\mu _{r}$, a permeabilidade magnética é $\mu =\mu _{0}\mu _{r}$ e

$B=\mu _{0}\mu _{r}n_{\mathrm {e} }I.$

Essa substituição direta pressupõe que os efeitos das extremidades e de desmagnetização possam ser desprezados. Em um solenoide finito com núcleo magnético aberto, o campo também depende da geometria. Nesses casos pode-se definir uma permeabilidade relativa efetiva ou aparente $\mu _{\mathrm {eff} }$, que não é, em geral, igual à permeabilidade relativa do material.

A inclusão de um núcleo ferromagnético, como o ferro, pode aumentar bastante a densidade de fluxo magnético. Quando uma permeabilidade efetiva é adequada para estimar o campo interno,

$B\approx \mu _{0}\mu _{\mathrm {eff} }{\frac {NI}{l}}.$

A permeabilidade efetiva depende da geometria e das propriedades magnéticas do núcleo. À medida que um material ferromagnético se aproxima da saturação magnética, sua permeabilidade incremental diminui e o fluxo deixa de crescer aproximadamente em proporção à corrente.

Em uma estrutura magnética aberta, o campo desmagnetizante precisa ser levado em conta. Para um corpo elipsoidal linear, homogêneo e isotrópico, submetido a um campo aplicado uniforme $H_{a}$ ao longo de um de seus eixos principais, o campo desmagnetizante interno é uniforme. Se $N_{d}$ é o fator de desmagnetização nessa direção, a permeabilidade relativa aparente, definida pela razão entre o campo interno $B$ e $\mu _{0}H_{a}$, é

$\mu _{\mathrm {eff} }={\frac {B}{\mu _{0}H_{a}}}={\frac {\mu _{r}}{1+N_{d}(\mu _{r}-1)}}.$

Em corpos não elipsoidais, como núcleos cilíndricos finitos, o campo desmagnetizante não é uniforme em geral. O uso de um único fator de desmagnetização passa a ser uma aproximação, e seu valor pode depender da definição empregada.

Solenoide contínuo finito

Um solenoide finito tem comprimento finito. No modelo contínuo, as espiras discretas são substituídas por uma lâmina cilíndrica de corrente superficial. As expressões a seguir se referem a uma lâmina de espessura desprezível, de raio $R$ e comprimento $l$, centrada em $z=0$, no vácuo e sem núcleo magnético. Elas também aproximam um enrolamento de núcleo de ar com espiras suficientemente próximas.

Para $N$ espiras distribuídas uniformemente ao longo do comprimento, cada uma percorrida por uma corrente $I$, a densidade superficial de corrente equivalente é

${\vec {K}}={\frac {NI}{l}}{\hat {\phi }}.$

A grandeza $NI/l$ é a corrente superficial azimutal por unidade de comprimento. Essa convenção permite aplicar ao enrolamento físico as expressões obtidas para uma lâmina contínua de corrente.

O campo magnético pode ser obtido por meio do vetor potencial magnético. Nas coordenadas cilíndricas $(\rho ,\phi ,z)$, pode-se escolher um vetor potencial com apenas a componente azimutal, ${\vec {A}}=A_{\phi }{\hat {\phi }}$, dada por

$$A_{\phi }={\frac {\mu _{0}NIR}{\pi l}}\left[{\frac {\zeta }{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}}\left({\frac {m+n-mn}{mn}}K(m)-{\frac {1}{m}}E(m)+{\frac {n-1}{n}}\Pi (n,m)\right)\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}},$$

Linhas e densidade do campo magnético produzido por um solenoide com densidade superficial de corrente

em que

• $\zeta _{\pm }=z\pm {\frac {l}{2}}$,
• $n={\frac {4R\rho }{(R+\rho )^{2}}}$,
• $m={\frac {4R\rho }{(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}$,
• $K(m)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}$,
• $E(m)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,d\theta$,
• $\Pi (n,m)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$.

Nesse caso, $K(m)$, $E(m)$ e $\Pi (n,m)$ são integrais elípticas completas de primeira, segunda e terceira espécies. O símbolo $m$ é o parâmetro da integral elíptica, equivalente ao quadrado do módulo. A notação entre colchetes exige avaliar toda a expressão em $\zeta _{+}$ e subtrair seu valor em $\zeta _{-}$. Como $m$ depende de $\zeta$, seu valor deve ser recalculado em cada uma dessas avaliações.

Usando

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}},$

as componentes radial e axial do campo podem ser escritas como

$$B_{\rho }={\frac {\mu _{0}NI}{4\pi l\rho }}\left[{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}\left((m-2)K(m)+2E(m)\right)\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}},$$

$$B_{z}={\frac {\mu _{0}NI}{2\pi l}}\left[{\frac {\zeta }{\sqrt {(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}}\left(K(m)+{\frac {R-\rho }{R+\rho }}\Pi (n,m)\right)\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}}.$$

A componente azimutal é nula nesse modelo. As formas acima permitem substituição direta para $\rho >0$ e $\rho \neq R$. No eixo e em $\rho =R$, é necessário tomar limites. Sobre a lâmina ideal de corrente, os valores do campo devem ser especificados pelos limites de cada lado da superfície. Nas bordas circulares, em $\rho =R$ e $z=\pm l/2$, o modelo de espessura nula apresenta singularidades.

No eixo de simetria, a componente radial desaparece e a componente axial fica

$$B_{z}={\frac {\mu _{0}NI}{2l}}\left({\frac {z+l/2}{\sqrt {R^{2}+(z+l/2)^{2}}}}-{\frac {z-l/2}{\sqrt {R^{2}+(z-l/2)^{2}}}}\right).$$

No centro do solenoide, em $z=0$,

$B_{z}(0)={\frac {\mu _{0}NI}{\sqrt {l^{2}+4R^{2}}}}.$

No interior de um solenoide longo, longe das extremidades, quando $l/2-|z|\gg R$, o campo axial se aproxima de

$B_{z}\approx \mu _{0}{\frac {NI}{l}},$

o resultado do solenoide longo.

Em cada extremidade, sobre o eixo, $z=\pm l/2$,

$B_{z}\left(\pm {\frac {l}{2}}\right)={\frac {\mu _{0}NI}{2{\sqrt {R^{2}+l^{2}}}}}.$

No limite $l\gg R$,

$B_{\mathrm {extremidade} }\approx {\frac {\mu _{0}NI}{2l}},$

metade do valor do campo na região central de um solenoide muito longo.

Estimativa para um solenoide curto

Quando o raio é muito maior que o comprimento do solenoide, $R\gg l$, as $N$ espiras podem ser aproximadas por espiras coplanares. Ao longo do eixo, para uma bobina centralizada em $z=0$,

$B_{z}\approx {\frac {\mu _{0}INR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}.$

Essa é a expressão do campo axial de uma espira circular multiplicada pelo número de espiras, válida como aproximação quando a extensão axial do enrolamento pode ser desprezada.

Solenoides irregulares

Exemplos de solenoides irregulares: (a) solenoide esparsamente enrolado, (b) solenoide de passo variável e (c) solenoide não cilíndrico

Entre os solenoides finitos há os enrolados de modo esparso com um único passo, os enrolados com passos diferentes, chamados solenoides de passo variável, e aqueles com raios diferentes entre as espiras, chamados solenoides não cilíndricos. Eles recebem em conjunto o nome de solenoides irregulares. Solenoides esparsamente enrolados são usados na transferência de energia sem fio. Solenoides de passo variável foram desenvolvidos e testados como bobinas de radiofrequência para equipamentos portáteis de imagem por ressonância magnética. Solenoides também foram propostos para sistemas de hipertermia magnética destinados ao tratamento de tumores.

As fórmulas usuais dos solenoides compactamente enrolados não são, em geral, diretamente aplicáveis à autoindutância e à autocapacitância de solenoides irregulares. Foram desenvolvidos modelos específicos para calcular sua autoindutância, com código disponibilizado separadamente, e sua autocapacitância. O código correspondente ao cálculo da autocapacitância também foi disponibilizado.

Indutância

Para uma bobina longa de núcleo de ar, desprezando os efeitos das extremidades,

$B\approx \mu _{0}{\frac {NI}{l}}.$

O fluxo magnético através de cada espira, cuja área transversal é $A$, é aproximadamente

$\Phi =BA\approx \mu _{0}{\frac {NIA}{l}}.$

Quando o mesmo fluxo atravessa todas as espiras, o encadeamento de fluxo é $\lambda =N\Phi$. No regime linear, ele é proporcional à corrente. Pela definição de indutância,

$L={\frac {\lambda }{I}}={\frac {N\Phi }{I}},$

e, para o solenoide longo de núcleo de ar,

$L\approx \mu _{0}{\frac {N^{2}A}{l}}.$

Para uma bobina helicoidal de uma camada e núcleo de ar que não é suficientemente longa para que essa expressão seja precisa, Harold A. Wheeler propôs uma aproximação empírica. Convertida diretamente para unidades do SI, com $R$ e $l$ inseridos numericamente em metros e $L$ obtido em henries, ela é

$L\approx 3{,}937\times 10^{-6}{\frac {N^{2}R^{2}}{l+0{,}9R}}.$

Wheeler estimou erro inferior a cerca de 1% para $l>0{,}8R$. A precisão pode ser menor quando a bobina possui poucas espiras, grande espaçamento entre elas ou quando o efeito pelicular e a capacitância distribuída deixam de ser desprezíveis.

A obra Radio Instruments and Measurements, de Dellinger, Whittemore e Ould, contém tabelas para o cálculo da indutância de solenoides curtos com diferentes razões entre diâmetro e comprimento.

A indutância de bobinas com simetria e a de formas mais complicadas podem ser obtidas a partir das Equações de Maxwell. Em bobinas rígidas de núcleo de ar, no regime quase-estático, ela depende da geometria e do número de espiras e não da amplitude da corrente.

Para um solenoide longo completamente preenchido por um material linear e homogêneo, quando os efeitos de desmagnetização podem ser desprezados, a expressão de núcleo de ar pode ser generalizada substituindo-se $\mu _{0}$ pela permeabilidade $\mu$ do material. Essa substituição não é, em geral, válida usando simplesmente $\mu =\mu _{0}\mu _{r}$ para um núcleo ferromagnético finito e aberto. Nesses núcleos, a permeabilidade aparente depende da geometria e do campo desmagnetizante. A permeabilidade dos materiais ferromagnéticos também varia com o estado de magnetização, de modo que a relação entre encadeamento de fluxo e corrente deixa de ser estritamente linear e a indutância pode depender da corrente.

Energia armazenada e autoindução

A forma geral da força eletromotriz de autoindução é

${\mathcal {E}}=-{\frac {d\lambda }{dt}},$

em que $\lambda$ é o encadeamento total do fluxo produzido pela própria corrente da bobina. Quando o mesmo fluxo $\Phi$ atravessa todas as $N$ espiras, $\lambda =N\Phi$. No regime linear, quando $\lambda =LI$ e $L$ é constante,

${\mathcal {E}}=-L{\frac {dI}{dt}}.$

No mesmo regime, a energia armazenada no campo magnético é

$U={\frac {1}{2}}LI^{2}.$

Em um núcleo ferromagnético no qual o encadeamento de fluxo não é proporcional à corrente, ou quando a histerese não pode ser desprezada, essas expressões com uma indutância constante não bastam para calcular a resposta da bobina e a energia armazenada. A relação entre força eletromotriz e encadeamento de fluxo permanece dada pela lei da indução de Faraday, e o sinal negativo corresponde à Lei de Lenz.

Ver também

• Indutor, componente elétrico que armazena energia em um campo magnético
• Eletroímã, ímã cujo campo magnético é produzido por corrente elétrica
• Enrolamento, conjunto de espiras condutoras que forma uma bobina elétrica
• Indutância, propriedade relacionada ao encadeamento de fluxo magnético produzido por uma corrente
• Campo magnético, campo produzido pela corrente que percorre o solenoide
• Lei de Ampère, relação usada no cálculo do campo de um solenoide ideal

Ligações externas

• Tutorial Java interativo sobre o campo magnético de um solenoide, National High Magnetic Field Laboratory
• Solenoides no HyperPhysics