Kroneckerova delta

Kroneckerova delta alebo Kroneckerov symbol^[1] (pomenovaná podľa Leopolda Kroneckera) je funkcia dvoch premenných, zvyčajne prirodzených čísel. Hodnota funkcie je 1, ak sú premenné totožné a 0, ináč:

δ_{i j} = {\begin{matrix} 0 & ak i \neq j, \\ 1 & ak i = j . \end{matrix}

Alebo použitím Iversonovej notácie:

δ_{i j} = [i = j] .

Kroneckerova delta sa prirodzene objavuje v mnohých oblastiach matematiky, fyziky, inžinierstva a informatiky.

Vlastnosti

Nasledujúce rovnosti sú splnené:

\begin{matrix} \sum_{j} δ_{i j} a_{j} & = a_{i}, \\ \sum_{i} a_{i} δ_{i j} & = a_{j}, \\ \sum_{k} δ_{i k} δ_{k j} & = δ_{i j} . \end{matrix}

Vďaka týmto formulám a faktu, že prvky $n \times n$ jednotkovej matice $\overline{𝐈}$ môžeme stotožniť s Kroneckerovou deltou ( $I_{i j} = δ_{i j}$ ), môžeme považovať $\overline{δ}$ za jednotkovú maticu.

V $n$ -rozmernom Euklidovskom priestore môžeme zapísať štandardný skalárny súčin ako^[2]

< 𝐚, 𝐛 > = \sum_{k, l} a_{k} δ_{k l} b_{l} = \sum_{k} a_{k} b_{k}

,

alebo využitím Einsteinovej sumačnej konvencie

< 𝐚, 𝐛 > = a_{k} b_{k}

.

Zovšeobecnenie

Kroneckerova delta je považovaná ako tenzor druhu $(1, 1)$ . Kroneckerov tenzor môže byť zapísaný ako $δ_{j}^{i}$ s kovariantným indexom $j$ a kontravariantným indexom $i$ :^[3]

δ_{j}^{i} = {\begin{matrix} 0 & (i \neq j), \\ 1 & (i = j) . \end{matrix}

Iversonove zátvorky sú zovšeobecnením Kroneckerovej delty, pričom Kroneckerova delta je špeciálnym prípadom, kde podmienkou je rovnosť:

δ_{i j} = [i = j] .

Referencie

↑ MARIÁN FECKO. Rozšírený SYLABUS a PRÍKLADY k prednáške “TEORETICKÁ MECHANIKA ” [online]. 2024-09-12, [cit. 2025-03-02]. Dostupné online. Archivované 2025-04-29 z originálu.
↑ PAVOL ZLATOŠ. Lineárna algebra a geometria. 1. vyd. Bratislava : MARENČIN PT, 2011. ISBN 978-80-8114-111-9. S. 233, 248.
↑ MARIÁN FECKO. Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov. Bratislava : Iris.

[1] MARIÁN FECKO. Rozšírený SYLABUS a PRÍKLADY k prednáške “TEORETICKÁ MECHANIKA ” [online]. 2024-09-12, [cit. 2025-03-02]. Dostupné online. Archivované 2025-04-29 z originálu.

[2] PAVOL ZLATOŠ. Lineárna algebra a geometria. 1. vyd. Bratislava : MARENČIN PT, 2011. ISBN 978-80-8114-111-9. S. 233, 248.

[3] MARIÁN FECKO. Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov. Bratislava : Iris.

[1]

[2]

[3]