여집합

집합론에서, 집합 A의 여집합(餘集合, 또는 보집합(補集合), complement set) A^C는, 전체집합 U의 원소 중 A의 원소가 아닌 것들의 집합이다. 집합 B에 대한 A의 차집합(差集合, relative complement, set difference) B ∖ A는, B의 원소 중 A의 원소가 아닌 것들의 집합이다.

여집합은 차집합의 특수한 예이다. 반대로 말해, 차집합은 여집합을 일반화한 개념이다.

전체집합 U가 정의되었을 때, 그의 부분집합 집합 A의 여집합은 $A C,$ $A',$ $A,$ $∁ U A,$ $∁ A,$ 또는 $U \ A$ 로 표기되며, 다음과 같은 집합이다.

A^{C} = {x \in U : x \notin A}

다른 말로,

임의의 x ∈ U에 대해, x ∈ A^C일 필요충분조건은 x ∉ A.

여집합의 성질

(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}

(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}

A^{c} \cap A = ∅︀

A - B = A \cap B^{c} = A^{p u r e}

(A^{c})^{c} = A

U^{c} = ∅︀

연산

(∅︀ \cup A^{c}) \cup A = ∅︀ \cup (A^{c} \cup A) = ∅︀ \cup U = U

(A \cup A) \cap (A^{c} \cup A) = (A \cap A^{c}) \cup A = ∅︀ \cup A = A

(A - B) \cap ((B \cup B) \cap (B^{c} \cup B)) = A^{p u r e} \cap ((B \cap B^{c}) \cup B) = A^{p u r e} \cap B = ∅︀

(A - B) \cap (B - A) = (A \cap B^{c}) \cap (B \cap A^{c}) = A^{p u r e} \cap B^{p u r e} = ∅︀

차집합

집합 B에 대한 A의 차집합은 $B ∖ A$ 또는 $B - A$ 로 표기되며, 다음과 같은 집합이다.

B ∖ A = {x \in B : x \notin A}

즉

임의의 대상 x에 대해, x ∈ B ∖ A일 필요충분조건은 x ∈ B 또한 x ∉ A.

여집합은 부분집합 관계인 두 집합의 차집합과 같다. U에서의 A의 여집합은 곧 차집합 $U ∖ A$ 이다.

차집합 연산의 성질에 대해서는 집합대수 글 참고. 다음은 차집합의 간단한 예이다.

{1, 2, 3} ∖ {2, 3, 4} = {1}
{2, 3, 4} ∖ {1, 2, 3} = {4}

위 문단의 여집합 예시인

{1, 2, 3, 4, 5, 6} ∖ {2, 3, 4, 5} = {1, 6}
$ℝ ∖ ℚ = 𝕀$

는 차집합의 예시이기도 하다.

같이 보기

대칭차

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v t e 집합론
집합	원소 공집합 한원소 집합 부분집합 교집합 합집합 여집합 대칭차 멱집합 곱집합 순서쌍 유한 집합 무한 집합 무한 공리 가산 집합 드 모르간의 법칙
함수	정의역 공역 치역 상 전사 함수 단사 함수 전단사 함수 다가 함수 역함수 항등 함수 상수 함수 지시 함수 함수의 합성
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