Grex (mathematica)

Grex^[1] (vel fortasse gruppus^[1] vel fortasse caterva^[1]) est structura algebraica abstracta quae est aggregatio operatione instructa inter bina classis elementa invertibilia associativaque. Unum gregis elementum est idemfactor; i.e. operatio inter eundemfactorem et quodlibet elementum hoc elementum facit (si vocamus eundemfactorem e, tunc e · a = a omni a). Grex sub operatione clauditur; hoc est, si a et b sunt elementa gregis, deinde a · b est elementum.

Theoria gregum est pars mathematicae quae de gregibus tractat.

Grex Abelianus est grex cuius operatio commutativa est; hoc est, si a et b sunt elementa gregis, deinde a · b = b · a. Nomen honorem dat Nicolao Henrico Abel^(en), mathematico norvegico.

Evaristus Galois francogallus primus nomen "gregem" dedit his structuris corporis.

Definitio

Grex est aggregatio $G$ cum operatione $(\cdot)$ inter bina elementa eius. Haec operatio quoque haec axiomata habet:

Clausitas

Pro omnia elementa $a, b$ in grege, $a \cdot b$ quoque in grege est.

Associativitas

Omnibus $a, b, c$ in grege, $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) .$

Elementum Idemfactor

Est elementum gregis, “idemfaciens” vocatur (et saepe $e$ scribitur), quod omnia alia elementa gregis sub operatione non mutat. In alia verba, haec identitas est apta: $a \cdot e = e \cdot a = a .$

Elementum Inversum

Pro omnia elementa $a$ in grege, est elementum appellatum "inversum" ( $a^{- 1}$ ), tale ut $a \cdot a^{- 1} = a^{- 1} \cdot a = e .$ Elementum quod suum inversum est appellatur involutio^(en).

Grex numerorum

Numeri integri, sub additione, sunt grex Abelianus. Nam si a et b sunt integri, a + b quoque integer est; 0 est idemfactor; et -a est elementum inversum elementi a (a + -a est enim idemfactor).

Grex matricum, vel grex linearis

Omnibus numeris naturalibus m et n, aggregatio matricum $m \times n$ , sub additione, grex est Abelianus. Omni n, aggregatio matricum $n \times n$ invertibilium^[2] ^[3] grex est sub operatione multiplicationis, sed haec non generatim est grex Abelianus: sunt enim A et B quae inter se commutari non possunt. Exempli gratia,

$(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix})$

sed

$(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})$

ergo $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix})$ non commutatur^[4] cum $(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ .

Grex symmetrica

Transformationes figurae quaedam in plano, ut rotatio et reflectio, symmetriae dictae, gregem faciunt. Operatio gregis est compositio: hoc est, si a et b sunt transformationes, a · b est transformatio nova ubi facimus b, dein a. Generatim, compositio non est commutativa.

Si figura est quadrata, nomen huius gregis est grex dihedralis. Haec sunt elementa:

idemfactor: omnia puncta manent	r₁: rotatio 90° ad dexteram partem	r₂: rotatio 180°	r₃: rotatio 270° ad dexteram, vel 90° ad sinistram partem
f_v: reflexio verticalis	f_h: reflexio horizontalis	f_d: reflexio in uno diagonale	f_c: reflexio in altero diagonale
Transformationes quadratae: elementa gregis dihedralis.

Nexus interni

Notae

1 2 3 Fons nominis Latini desideratur (addito fonte, hanc formulam remove).
↑ Haec appellatio a Vicipaediano e lingua indigena in sermonem Latinum conversa est. Extra Vicipaediam huius locutionis testificatio vix inveniri potest.
↑ Sine hac conditione erit monoides^(en).
↑ Haec appellatio a Vicipaediano e lingua indigena in sermonem Latinum conversa est. Extra Vicipaediam huius locutionis testificatio vix inveniri potest.

Bibliographia

Saunders MacLane and Garret Birkhoff, Algebra. New York: Macmillan, 1979.

David S. Dummit and Richard S. Foote, Abstract Algebra, 3rd edition. Wiley and Sons Inc., 2004.

[fons-nominis-desideratus-1] 1 2 3 Fons nominis Latini desideratur (addito fonte, hanc formulam remove).

[2] Haec appellatio a Vicipaediano e lingua indigena in sermonem Latinum conversa est. Extra Vicipaediam huius locutionis testificatio vix inveniri potest.

[3] Sine hac conditione erit monoides^(en).

[4] Haec appellatio a Vicipaediano e lingua indigena in sermonem Latinum conversa est. Extra Vicipaediam huius locutionis testificatio vix inveniri potest.

[1]

[2]

[3]

[4]