σ-àlgebra

En matemàtiques, una $σ$ -àlgebra (dita sigma-àlgebra) o tribu sobre un conjunt $X$ és una col·lecció no buida $ℱ$ de subconjunts de $X$ que és tancada sota operacions numerables d'unió, intersecció i complementació de conjunts. La parella ( $X$ , $ℱ$ ) s'anomena espai mesurable. El concepte de $σ$ -àlgebra és essencial per a poder definir mesures en $X$ , amb les quals es pot assignar un nombre real als diferents elements de $ℱ$ . El concepte de mesura, a la vegada, és fonamental en anàlisi i en la teoria moderna de probabilitat.

Definició

Sigui $X$ un conjunt no buit, i sigui $ℱ$ una col·lecció de subconjunts de $X$ . Diem que $ℱ$ és una $σ$ -àlgebra si es compleix:

El conjunt buit $\emptyset$ pertany a $ℱ$ .
Si un conjunt $A$ pertany a $ℱ$ , el seu complementari $A^{c} = X ∖ A$ també pertany a $ℱ$ .
La unió d'una col·lecció numerable de conjunts $A_{1}, A_{2}, \dots \in ℱ$ també pertany a $ℱ$ : $⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n} \in ℱ .$

En altres paraules, una col·lecció $ℱ$ de subconjunts de $X$ és una $σ$ -àlgebra si:

$ℱ$ és no buida.
$ℱ$ és tancada sota complementació.
$ℱ$ és tancada sota unions numerables.

Exemple

Donat el conjunt

X = {a, b, c, d}

, una possible

σ

-àlgebra seria

ℱ = {\emptyset, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d}},

ja que

els elements de $ℱ$ són diferents subconjunts de $X$ , entre els quals hi ha el conjunt buit (condició 1).
els complementaris de cadascun dels elements de $ℱ$ també pertanyen a $ℱ$ (condició 2).
la tercera condició es compleix, ja que totes les possibles unions d'elements de $ℱ$ són dins de $ℱ$ .

Propietats

El conjunt complet pertany a la $σ$ 'àlgebra, $X \in ℱ$ (a partir dels punts 1 i 2 de la definició).
Una $σ$ -àlgebra és també tancada sota la intersecció numerable d'elements (a partir de 2 i 3, i fent servir les Lleis de De Morgan): si per a tot $n \in ℕ$ , $A_{n} \in ℱ$ , llavors $⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n} \in ℱ .$ És a dir, la intersecció d'un nombre infinit numerable de conjunts de $ℱ$ és un conjunt que pertany a $ℱ$ .
Una $σ$ -àlgebra és tancada per reunions i interseccions finites, és a dir, si $A_{1}, \dots, A_{n} \in ℱ$ , llavors

$A_{1} \cup \dots \cup A_{n} \in ℱ i A_{1} \cap \dots \cap A_{n} \in ℱ,$ ja que $A_{1} \cup \dots \cup A_{n} = A_{1} \cup \dots \cup A_{n} \cup \emptyset \cup \emptyset \dots \in ℱ .$ Anàlogament per la intersecció. Aquesta propietat mostra que una $σ$ -àlgebra és una àlgebra de conjunts.

Exemples

Sigui $X$ un conjunt qualsevol. Les següents col·leccions de conjunts són $σ$ -àlgebres en $X$ :

La col·lecció formada només pel conjunt buit i $X$ : $ℱ = {\emptyset, X}$ .
La col·lecció formada pe conjunt de tots els subconjunts de $X$ , és a dir, el conjunt de les parts de $X$ : $ℱ = 𝒫 (X) = 2^{X}$ .
Si $ℱ_{j}$ , $j \in J$ , és una família arbitrària de $σ$ -àlgebres en $X$ , la intersecció de tots elles també és una $σ$ -àlgebra.

σ-àlgebra generada per una col·lecció de conjunts

Sigui $𝒞$ una col·lecció qualsevol de subconjunts de $X$ . S'anomena $σ$ -àlgebra generada (o engendrada) per $𝒞$ , i és designa per $σ (𝒞)$ a la menor $σ$ -àlgebra que conté tots els conjunts de $𝒞$ . Es construeix com segueix. D'entrada cal remarcar que existeix una $σ$ -àlgebra en $X$ que conté la col·lecció $𝒞$ , que és la $σ$ -àlgebra del conjunt de les parts de $X$ . Si designem per $Φ$ la família de les $σ$ -àlgebres en $X$ que contenen $𝒞$ (és a dir, una $σ$ -àlgebra $𝒢$ en $X$ pertany a $Φ$ si i només si $𝒞 \subset 𝒢$ ). Llavors definim $σ (𝒞)$ com la intersecció de tots els elements de $Φ$ , i es comprova que és una $σ$ -àlgebra.

Exemples

$σ (\emptyset) = {\emptyset, X}$ .
Sigui el conjunt $X = {1, 2, 3}$ , la $σ$ -àlgebra generada pel subconjunt $X = {1}$ és $σ (1) = {\emptyset, {1}, {2, 3}, X}$ }. En general, si $A \in 𝒫 (X)$ , i $A$ no és ni $X$ ni $\emptyset$ , llavors $σ (A) = {\emptyset, X, A, A^{c}}$ .

$σ$ -àlgebra de tipus numerable. Es diu que una $σ$ -àlgebra $ℱ$ sobre $X$ és de tipus numerable ^[1] o numerablement generada ^[2] si existeix una família numerable de subconjunts de $X$ que generin $ℱ$ (vegeu l'exemple de la $σ$ -àlgebra de Borel al següent paràgraf). El cas més senzill és quan $ℱ$ està engendrada per una partició numerable de $X$ , ja que llavors $ℱ$ està formada per les reunions disjuntes de subfamílies de la partició. Però tal com diu Neveu ^[3]"Ens guardarem prou de creure que tota $σ$ -àlgebra de tipus numerable es pot engendrar per una partició numerable de l'espai".

$σ$ -àlgebra de Bórel

Article principal: àlgebra de Borel

Un exemple important de $σ$ -àlgebra generada és la $σ$ -àlgebra de Borel sobre un espai topològic: es tracta de la $σ$ -àlgebra generada pels conjunts oberts (o, de manera equivalent, pels conjunts tancats). Cal remarcar que aquesta àlgebra no és, en general, el conjunt de les parts. Vegeu el conjunt de Vitali per a un exemple no-trivial.

En el cas particular de la $σ$ -àlgebra de Borel sobre el conjunt dels nombres reals, donada l'estructura dels conjunts oberts i la densitat dels nombre racionals, està generada (entre altres possibilitats) pels intervals oberts d'extrems racionals; ^[4] es tracta, per tant, d'una $σ$ -àlgebra de tipus numerable.

En contrast amb el que passava amb una àlgebra engendrada per una família de conjunts, en general, en el cas d'una $σ$ -àlgebra generada no hi ha una expressió explícita de tots els elements de la $σ$ -àlgebra, ni una construcció iterativa ordinària i cal utilitzar inducció transfinita, vegeu ^[5] ^[6]. Així, per exemple, en el cas de la recta real, no és cert que tots els conjunts de la $σ$ -àlgebra de Borel es puguin obtenir com reunions o interseccions numerables d'intervals.

σ-àlgebra traça

Sigui ( $X$ , $ℱ$ ) un espai mesurable i $C \subset X$ un subconjunt arbitrari, aleshores la família de conjunts $ℱ |_{C} = {A \cap C : A \in ℱ}$ és una $σ$ -àlgebra sobre $C$ que s'anomena la $σ$ -àlgebra traça sobre $C$ . ^[7] Vegeu l'analogia amb la definició de topologia traça.

σ-àlgebra producte

Siguin ( $X_{1}, ℱ_{1})$ i ( $X_{2}, ℱ_{2})$ ) dos espais mesurables. La $σ$ -àlgebra producte sobre $X_{1} \times X_{2}$ , designada per $ℱ_{1} \otimes ℱ_{2}$ , és la $σ$ -àlgebra generada per la família de conjunts ${A_{1} \times A_{2}, A_{1} \in ℱ_{1} i A_{2} \in ℱ_{2}}$ . Els conjunts de la forma anterior s'anomenen rectangles mesurables.

La següent propietat és útil per treballar amb espais producte:

Propietat. ^[8] Considerem dos espais mesurables ( $X_{1}, ℱ_{1})$ i ( $X_{2}, ℱ_{2})$ tals que $ℱ_{1} = σ (𝒞_{1}) amb$ $𝒞_{1} \subset 𝒫 (X_{1})$ i $ℱ_{2} = σ (𝒞_{2}$ ), amb $𝒞_{2} \subset 𝒫 (X_{2})$ , i que $X_{1} \in 𝒞_{1}$ i $X_{2} \in 𝒞_{2}$ . Aleshores $ℱ_{1} \otimes ℱ_{2} = σ ({A_{1} \times A_{2} : A_{1} \in 𝒞_{1}, A_{2} \in 𝒞_{2}}) .$

De manera similar, donats $n$ espais mesurables, $(X_{1}, ℱ_{1}), \dots, (X_{n}, ℱ_{n})$ , la $σ$ -àlgebra producte sobre $X_{1} \times \dots \times X_{n}$ , designada per $ℱ_{1} \otimes \dots \otimes ℱ_{n}$ és la $σ$ -àlgebra generada pels rectangles mesurables $A_{1} \times \dots \times A_{n}$ amb $A_{1} \in ℱ_{1}$ , ... $A_{n} \in ℱ_{n}$ .També és certa la propietat anterior quan la $σ$ -àlgebra $ℱ_{j}$ està generada per la família de conjunts, $𝒞_{j} \subset 𝒫 (X_{j})$ amb $X_{j} \in 𝒞_{j}$ , per a $j = 1 \dots, n$ .

La definició anterior s'estén al producte d'un nombre arbitrari (finit o no) d'espais mesurables ( $X_{j}, ℱ_{j}$ ), $j \in 𝕁$ . Aleshores a $σ$ -àlgebra producte sobre_{$\times_{j \in 𝕁} X_{j}$}, que designarem per _{$\otimes_{j \in 𝕁} ℱ_{j}$} és la $σ$ -àlgebra generada pels conjunts de la forma $\times_{j \in J} A_{j}$ , amb $A_{j} \in ℱ_{j}$ , i $A_{j} = X_{j}$ excepte per a una nombre finit d'índexs ^[9]. Vegeu^[9] ^[10] per a definicions equivalents. En el cas que $𝕁$ sigui finit, aquesta definició inclou la a anterior.

Classes monòtones

Introducció. Atès que, segons hem comentat abans, en general no hi ha una manera senzilla d'escriure els elements d'una $σ$ -àlgebra generada per una família de conjunts, per provar propietats en aquest context habitualment s'utilitza el que s'anomena un argument de classes monòtones (o argument de la classe monòtona), que permet estendre a tota la $σ$ -àlgebra una propietat comprovada en una família petita de conjunts. Aquest mètode va ser popularitzat per Halmos ^[11]. Al següent apartat veurem una tècnica anàloga introduïda per Dynkin ^[12] que en alguns casos és més senzilla d'aplicar que el teorema de les classes monòtones.

Definició. ^[13] Donat un conjunt $X$ , una classe monòtona $ℳ$ en $X$ és una col·lecció no buida de subconjunts de $X$ que és tancada per successions monòtones. Més concretament, $ℳ \subset 𝒫 (X)$ és una classe monòtona si compleix

1 Si $A_{1}, A_{2}, \dots \in ℳ$ i $A_{1} \subset A_{2} \subset \dots$ , llavors $⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n} \in ℳ$ .

2. Si $B_{1}, B_{2}, \dots \in ℳ$ i $B_{1} \supset B_{2} \supset \dots$ , llavors $⋂_{n = 1}^{\infty} B_{n} \in ℳ$ .

Evidentment, una $σ$ -àlgebra és una classe monòtona. Recíprocament si una àlgebra $𝒜$ és una classe monòtona, aleshores és una $σ$ -àlgebra, ja que si $A_{1}, A_{2}, \dots \in 𝒜$ , definim per a $n \geq 1$ , $A'_{n} = A_{1} \cup \dots \cup A_{n},$ i llavors tindrem $A'_{1}, A'_{2}, \dots \in 𝒜$ , amb $A'_{1} \subset A'_{2} \subset \dots$ i $⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n} = ⋃_{n = 1}^{\infty} A'_{n} .$

El següent teorema és molt útil.

Teorema de les classes monòtones^[13]. Sigui $𝒜 \subset 𝒫 (X)$ una àlgebra i $ℳ$ una classe monòtona tal que $𝒜 \subset ℳ$ . Aleshores $σ (𝒜) \subset ℳ$ .

Demostració

Designem per

m (𝒜)

la classe monòtona engendrada per

𝒜

, és a dir, la menor classe monòtona que conté

𝒜

. Atès que, tal com hem dit,

σ (𝒜)

és una classe monòtona i conté

𝒜

, tenim que

m (𝒜) \subset ℳ

. Anem a veure que

σ (𝒜) \subset m (𝒜)

(de fet, és veritat la igualtat entre ambdós conjunts).

Fixem un conjunt $A \in m (𝒜)$ i definim $ℳ_{A} = {B \in m (𝒜) : A \cap B, A \cap B^{c}, A^{c} \cap B \in m (𝒜)} .$ Per construcció, $ℳ_{A} \subset m (𝒜) . (1)$ Es comprova que $ℳ_{A}$ és una classe monòtona. Llavors,

1. Si $A \in 𝒜$ llavors $𝒜 \subset ℳ_{A}$ : en efecte, si $C \in 𝒜 \subset m (𝒜)$ , com que $𝒜$ és una àlgebra, tindrem que $A \cap C, A \cap C^{c}, A^{c} \cap C \in 𝒜 \subset m (𝒜),$ d'on $C \in ℳ_{A}$ , és a dir, hem demostrat que si $A \in 𝒜$ llavors $𝒜 \subset ℳ_{A}$ , d'on $m (𝒜) \subset ℳ_{A}$ . Però per (1), $m (𝒜) = ℳ_{A} .$

2. Suposem ara que $A \in m (𝒜)$ . Si $B \in 𝒜$ , com que, segons hem vist a l'apartat anterior, $ℳ_{B} = m (𝒜)$ , tindrem que $A \in ℳ_{B}$ , i per tant, $B \cap A, B \cap A^{c}, B^{c} \cap A \in m (𝒜)$ , i això implica $B \in ℳ_{A}$ . Així tenim que $𝒜 \subset ℳ_{A}$ , d'on $m (𝒜) \subset ℳ_{A}$ , i de nou, per (1), $m (𝒜) = ℳ_{A}$ .

Finalment, si

A, B \in m (𝒜)

, pels resultats anteriors

A \in ℳ_{B}

i

B \in ℳ_{A}

d'on

A \cap B, A \cap B^{c}, A^{c} \cap B \in m (𝒜)

, aleshores

m (𝒜)

és una àlgebra, que també és una classe monòtona, i per tant serà una

σ

-àlgebra. D'on deduïm que

σ (𝒜) \subset m (𝒜)

.

Exemple. Unicitat de mesures finites que coincideixen en una àlgebra. Sigui $𝒜$ una àlgebra en $X$ , i $μ_{1}, μ_{2}$ dues mesures finites en $σ (𝒜)$ que coincideixen en $𝒜$ . Aleshores $μ_{1} = μ_{2}$ .

Demostració.

Sigui $𝒞 = {A \in σ (𝒜) : μ_{1} (A) = μ_{2} (A)}$ . Es comprova que $𝒞$ és una classe monòtona, i òbviament $𝒜 \subset 𝒞$ . Pel teorema de la classe monòtona, $σ (𝒜) \subset 𝒞$ .

Observació. Aquest resultat també és cert si les mesures són $σ$ -finites en $𝒜$ , és a dir, si existeixen successions de conjunts $A_{1}, A_{2}, \dots \in 𝒜$ i $B_{1}, B_{2}, \dots \in 𝒜$ tals que $X = ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n} = ⋃_{n = 1}^{\infty} B_{n},$ i per a tot $n \geq 1$ , $μ_{1} (A_{n}) < \infty$ i $μ_{2} (B_{n}) < \infty$ .

Teorema de la π-λ de Dynkin

Necessitem dues definicions:

Definició. Direm que $𝒮 \subset 𝒫 (X)$ és un $π$ -sistema si és tancat per interseccions finites, és a dir, si $A, B \in 𝒮$ , llavors $A \cap B \in 𝒮$ .

Definició. Direm que $𝒟 \subseteq 𝒫 (X)$ és un $λ$ -sistema ^[14] si:

$X \in 𝒟$ .
Si $A, B \in 𝒟$ i $A \subset B$ , llavors $B ∖ A \in 𝒟$ .
Si $A_{1}, A_{2}, \dots \in 𝒟$ amb $A_{1} \subset A_{2} \subset \dots$ , llavors $⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n} \in 𝒟$ .

Teorema de la $π$ - $λ$ de Dynkin .^[14] Si $𝒮$ és un $π$ -sistema i $𝒟$ és un $λ$ -sistema tal que $𝒮 \subset 𝒟$ , llavors $σ (𝒮) \subset 𝒟$ .

Teorema de les classes monòtones per a funcions

El teorema de les classes monòtones té diverses versions per a funcions, on es comprova una propietat per als indicadors d'una família (petita) de conjunts i automàticament aquesta propietat s'estén a totes les funcions mesurables respecte una $σ$ -àlgebra

Teorema de les classes monòtones per a funcions. ^[15] Sigui $ℋ$ una família de funcions de $X$ en $ℝ$ tal que:

$ℋ$ és un espai vectorial sobre $ℝ$ .
La funció constant $𝟏 (x) = 1$ , per a tot $x \in X$ , pertany a $ℋ$ .
Si $f_{1}, f_{2}, \dots \in ℋ$ amb $0 \leq f_{1} \leq f_{2} \leq \dots$ , i $lim_{n} f_{n} = f$ , on $f$ és una funció afitada, llavors $f \in ℋ$ .

Considerem un $π$ -sistema $𝒮$ en $X$ i suposem que $ℋ$ conté els indicadores de tots els elements de $𝒮$ . Aleshores $ℋ$ conté totes les funcions afitades de $X$ en $ℝ$ que són $σ (𝒮)$ -mesurables.

Nota. Vegeu ^[16] per a diverses versions d'aquest teorema.

Espai mesurable i espai de mesura

Article principal: Espai de mesura

Una parella $(X, ℱ)$ formada per un conjunt $X$ i una $σ$ -àlgebra $ℱ$ en $X$ s'anomena un espai mesurable; els elements de $ℱ$ s'anomenen conjunts mesurables.

Una mesura $μ$ en un espai mesurable $(X, ℱ)$ és una aplicació $μ : ℱ \to [0, \infty]$ tal que

El conjunt buit té mesura zero $μ (∅︀) = 0$ .
És $σ -$ additiva (o numerablement additiva): Si $A_{1}, A_{2}, \dots \in ℱ$ són disjunts dos a dos, $A_{i} \cap A_{j} = ∅︀$ , per a qualsevol parell $i \neq j$ , aleshores

$μ (⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} μ (A_{i}) . (2)$

La terna $(X, ℱ, μ)$ s'anomena espai de mesura.

Discussió

Les $σ$ -àlgebres són necessàries per definir mesures sobre un conjunt. Una mesura en $X$ és una funció que assigna un nombre real als subconjunts de $X$ . Es pot pensar en la mesura com la noció precisa de grandària o volum aplicada a conjunts. D'entrada semblaria possible assignar un volum a cadascun dels subconjunts de $X$ ; ara bé, quan la mesura que considerem és la longitud estàndard per als subconjunts de la recta real (la mesura de Lebesgue), amb l'ajuda de l'axioma d'elecció es demostra que existeixen conjunts (conjunts de Vitali) pels quals no existeix una mesura. És per aquesta raó que es considera una col·lecció més petita de subconjunts privilegiats de $X$ , pels quals la mesura sí que està ben definida; aquests subconjunts constitueixen una $σ$ -àlgebra.

Una funció entre dos espais mesurables s'anomena mesurable si l'antiimatge de cada conjunt mesurable és també un conjunt mesurable; és a dir, si ( $X$ , $ℱ$ ) i ( $X$ ^', $ℱ$ ^') són dos espais mesurables, una funció $f$ : $X$ $⟶$ $X$ ^' és diu que és mesurable si i només si per a tot $E$ $\in$ $ℱ$ ^', $f$ ^-1( $E$ ) $\in$ $ℱ$ .

Vegeu també

Notes

↑ Neveu, 1979, p. 14.
↑ Ash, 2000, p. 121.
↑ Neveu, 1970, p. 15.
↑ Dellacherie i meyer, 1975, p. 12.
↑ Tao, 2012, p. 87-88.
↑ Billingley, 2012, p. 32 i ss.
↑ Schilling, 2017, p. 17.
↑ Folland, 1999, p. 22, 23.
1 2 Dellacherie i Meyer, 1975, p. 13.
↑ Nualart i Sanz, 1990, p. 47.
↑ Halmos, 1974.
↑ Dynkin, 1961.
1 2 Sanz i Nualart, 1990, p. 15.
1 2 Durret, 1991.
↑ Williams, 2018, p. 37.
↑ Dellacherie i Meyer, 1975, p. 22 i ss..

Bibliografia

Ash, Robert B.. Probability and measure theory. 2a edició. San Diego: Harcourt/Academic Press, 2000. ISBN 0-12-065202-1.
Billingsley, Patrick. Probability and measure. Anniversary edition. Hoboken, New Jersey: Wiley, 2012. ISBN 978-1-118-12237-2.
Loeve, Michel. Teoría de la probabilidad. Madrid: Tecnos, 1976. ISBN 84-309-0663-0.
Dellacherie, Claude; Meyer, Paul-André. Probabilités et Potentiel, Chapitres 1 à IV. 1975: Hermann, 1975. ISBN 2 7056 1372 2.
Durrett, Richard. Probability: theory and examples. Pacific Grove, Calif: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, 1991. ISBN 978-0-534-13206-4.
Dynkin, E. B.. Theory of Markov Processes. Englewood Cliffs, N.J.: PRENTICE-HALL, INC., 1961.
Folland, Gerald B. Real analysis: modern techniques and their applications. Chichester Weinheim [etc.]: New York J. Wiley & sons, 1999. ISBN 978-0-471-31716-6.
Halmos, Paul R. Measure theory. New York: Springer-Verlag, 1974. ISBN 978-0-387-90088-9.
Neveu, Jacques. Bases mathématiques du calcul des probabilités. 2ème édition revue et corrigée. París: Masson et Cie, 1970. ISBN 2225617872.
Nualart, David; Sanz, Marta. Curs de probabilitats. Barcelona: PPU, 1990. ISBN 84-7665-718-8.
Schilling, René L. Measures, integrals and martingales. 2n edition. Cambridge ; New York: Cambridge University Press, 2017. ISBN 978-0-521-85015-5.
Tao, Terence. [url= https://terrytao.wordpress.com/wp-content/uploads/2012/12/gsm-126-tao5-measure-book.pdf An introduction to measure theory]. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2011. ISBN 978-1-4704-6640-4.
Williams, David. Probability with martingales. 2nd printing. Cambridge: Cambridge Univ. Pr, 2018. ISBN 978-0-521-40605-5.

[FOOTNOTENeveu197914-1] Neveu, 1979, p. 14.

[FOOTNOTEAsh2000121-2] Ash, 2000, p. 121.

[FOOTNOTENeveu197015-3] Neveu, 1970, p. 15.

[FOOTNOTEDellacheriemeyer197512-4] Dellacherie i meyer, 1975, p. 12.

[FOOTNOTETao201287-88-5] Tao, 2012, p. 87-88.

[FOOTNOTEBillingley201232_i_ss-6] Billingley, 2012, p. 32 i ss.

[FOOTNOTESchilling201717-7] Schilling, 2017, p. 17.

[FOOTNOTEFolland199922,_23-8] Folland, 1999, p. 22, 23.

[FOOTNOTEDellacherieMeyer197513-9] 1 2 Dellacherie i Meyer, 1975, p. 13.

[FOOTNOTENualartSanz199047-10] Nualart i Sanz, 1990, p. 47.

[FOOTNOTEHalmos1974-11] Halmos, 1974.

[FOOTNOTEDynkin1961-12] Dynkin, 1961.

[FOOTNOTESanzNualart199015-13] 1 2 Sanz i Nualart, 1990, p. 15.

[FOOTNOTEDurret1991-14] 1 2 Durret, 1991.

[FOOTNOTEWilliams201837-15] Williams, 2018, p. 37.

[FOOTNOTEDellacherieMeyer197522_i_ss.-16] Dellacherie i Meyer, 1975, p. 22 i ss..

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]